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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0039
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 39
inverses Element zu Sa und eindeutig bestimmt; man setzt daher
z=sa-\l)
Jede in der maximalen automorphen Gruppe von S befindliche
Gesamtheit von Transmutationen mit Gruppencharakter bildet selbst
eine Gruppe in S enthaltener automorpher Transmutationen. Im fol-
genden sei irgendeine solche Gruppe; sei also die maximale
automorphe Transmutationsgruppe der Dirigenten , Qk des
Körpers (P; o15 Qk) 0(^er eine ihrer Untergruppen. Dann soll
der Satz von der Möglichkeit der GALOisschen Zerlegung
des T^ansmutationssystems S nach jeder in <5 enthaltenen
automorphen Untergruppe abgeleitet werden.
Satz 2. Ist eine in <5 enthaltene, automorphe Unter-
gruppe der Ordnung sa, so kann <5 in G~— Komplexe mit
s a
je sa untereinander verschiedenen Transmutationen zer-
legt werden, nämlich
® = SaP1-T^P24-... + ^(Pv
Wir nennen diese Zerlegung die Galois sehe Zerlegung2)
des Transmutationssystems nach ®a.
Der Beweis ergibt sich folgendermaßen: Pz = ( ‘ ) sei
\{?iz Qzi • • ■ Qki/
irgendeine Transmutation aus ®; mit Pz bilden wir den Komplex
Pz, wobei alle Transmutationen der Gruppe durchläuft. Da
nur automorphe Transmutationen enthält, läßt sich der Komplex
Pz tatsächlich bilden und umfaßt, worauf schon oben unter I zu
Beginn des § hingewiesen wurde, nur Transmutationen aus <5. Die
Transmutationen des Komplexes sind alle untereinander verschieden.
Wären nämlich, wenn Sa = ( . ) (7 = 1, 2, ..., 7c) und Sb:
015 @25 • " • 5 Qk)/
( ( ■ \) (i = 1, 2, ..., 7c) zwei Transmutationen aus &a be-
xWi \Q11 Qz> ‘ > Qk)/
deute», J (i= i; 2, ■.Zc) und Sb P.
( f x ) (7 = 1, 2, ..., 7c) die nämlichen Transmutationen,
\VW1Z5 @2Z5 • ••■)Qkl)7 k J ■ ’
1) Wegen der eindeutigen Bestimmtheit der zu Sa inversen Transmutation
ist Z auch als identisch mit der zu Sa konsekutiven Transmutation
(<P1 01, ?2, • • •> ^2 Ob (?2, • • ; (?Zc) • • ■ <Pk 01, ?2. • • ; f/J)
K Cl (?2 ■■■ Qk '
der Dirigenten <px cp2 (?1, p2,..cplc (?1, ?2, ..?Z;) anzusehen.
2) Für den besonderen Fall, daß eine Gruppe ist, hat E. Galois uns
bekanntlich diese Zerlegung gelehrt. Vgl. Oeuvres de Galois par E. Picard,
Paris 1897, p. 26.
inverses Element zu Sa und eindeutig bestimmt; man setzt daher
z=sa-\l)
Jede in der maximalen automorphen Gruppe von S befindliche
Gesamtheit von Transmutationen mit Gruppencharakter bildet selbst
eine Gruppe in S enthaltener automorpher Transmutationen. Im fol-
genden sei irgendeine solche Gruppe; sei also die maximale
automorphe Transmutationsgruppe der Dirigenten , Qk des
Körpers (P; o15 Qk) 0(^er eine ihrer Untergruppen. Dann soll
der Satz von der Möglichkeit der GALOisschen Zerlegung
des T^ansmutationssystems S nach jeder in <5 enthaltenen
automorphen Untergruppe abgeleitet werden.
Satz 2. Ist eine in <5 enthaltene, automorphe Unter-
gruppe der Ordnung sa, so kann <5 in G~— Komplexe mit
s a
je sa untereinander verschiedenen Transmutationen zer-
legt werden, nämlich
® = SaP1-T^P24-... + ^(Pv
Wir nennen diese Zerlegung die Galois sehe Zerlegung2)
des Transmutationssystems nach ®a.
Der Beweis ergibt sich folgendermaßen: Pz = ( ‘ ) sei
\{?iz Qzi • • ■ Qki/
irgendeine Transmutation aus ®; mit Pz bilden wir den Komplex
Pz, wobei alle Transmutationen der Gruppe durchläuft. Da
nur automorphe Transmutationen enthält, läßt sich der Komplex
Pz tatsächlich bilden und umfaßt, worauf schon oben unter I zu
Beginn des § hingewiesen wurde, nur Transmutationen aus <5. Die
Transmutationen des Komplexes sind alle untereinander verschieden.
Wären nämlich, wenn Sa = ( . ) (7 = 1, 2, ..., 7c) und Sb:
015 @25 • " • 5 Qk)/
( ( ■ \) (i = 1, 2, ..., 7c) zwei Transmutationen aus &a be-
xWi \Q11 Qz> ‘ > Qk)/
deute», J (i= i; 2, ■.Zc) und Sb P.
( f x ) (7 = 1, 2, ..., 7c) die nämlichen Transmutationen,
\VW1Z5 @2Z5 • ••■)Qkl)7 k J ■ ’
1) Wegen der eindeutigen Bestimmtheit der zu Sa inversen Transmutation
ist Z auch als identisch mit der zu Sa konsekutiven Transmutation
(<P1 01, ?2, • • •> ^2 Ob (?2, • • ; (?Zc) • • ■ <Pk 01, ?2. • • ; f/J)
K Cl (?2 ■■■ Qk '
der Dirigenten <px cp2 (?1, p2,..cplc (?1, ?2, ..?Z;) anzusehen.
2) Für den besonderen Fall, daß eine Gruppe ist, hat E. Galois uns
bekanntlich diese Zerlegung gelehrt. Vgl. Oeuvres de Galois par E. Picard,
Paris 1897, p. 26.