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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0041
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 41
a) Der Beweis soll zuerst für den speziellen Fall erbracht werden,
daß die stets im Transmutationssystem S enthaltene identische
Transmutation E= I £2 • • • 2& ) jje fyr sjcp allein eine automorphe
Untergruppe von S bildet. Eine zu der identischen Transmutation E
zugehörige rationale Funktion heißt eine primitive oder s-wertige
Funktion des Körpers (P; qv q2, ..q^. Zum Beweise der Exi-
stenz primitiver Funktionen führen wir k Unbestimmte lu1, /li2, ...,
ein und bilden mit ihnen den Ausdruck F AB (?2F ■ • - F AB Qk-
Auf die soeben hingeschriebene Funktion wenden wir die von E ver-
schiedenen s—1 Transmutationen ( ] (i = 2, 3, . . ., s)
Q'2i • • • Qki/
an und erhalten die s — 1 Funktionen (n1 £4. + AB @2» F • • • F AB- Qki
(i = 1, 2, .. s). Aus ihnen bilden wir mit Hilfe von
AG Ql F AB @2 F • • • F AB: Qk
die s - 1 Differenzen + AB (@2 ~ Q2J + ---+^k (Qk ~ Qfy)
(i = 2, 3, ..., s); von ihnen verschwindet keine identisch, da die s — 1
Transmutationen ) (i = 2,3,..., s) vonP=^1
Q2f QkJ v 3 * * * 7 Q2 • • • Qk/
verschieden sind. Wählt man für /zx,/z2,...,/zfc irgendwelche rationale
Zahlen <4, c2, . .., ck, die so beschaffen sind, daß durch sie keine der
s — 1 Linearfunktionen
AL G?i — Qii) + AB fe — f?2i) F • • • F AB- ({?t ~ Qki) (i = 2,3,.. ., s)
verschwindet1), so ist G £1 F c2 &F • • • F ck Qk e‘ne primitive Funk-
tion, wie wir sie suchen; denn die von E verschiedenen Transmu-
tationen aus e> führen Cx ft + B (?2 F • ■ • F ck Qk in Fe s — 1 zu
ci Pi F c2 & F • • • F Ck Qk ungleichen Ausdrücke cx qu F c2 22i F • • • F
ck Qki & = 2,3,..., s) über.
Man sieht auch noch sofort ein, daß eine primitive Funktion
<4 <4 F c2 Qz -7-. . . F ck Qk nicht nur von den s — 1 Größen
3 Man findet Ci, c2, ..., Ck auf folgende Weise: Für Ci wähle man irgend-
eine rationale Zahl, die nicht zu den Nullstellen derjenigen unter den s — 1 Li-
nearfunktionen /n (61 — Ql?) 4- ,M2 (q2 — Q.2i) 4- ... 4- — Qki) (i = 2, 3, . . ., s)
gehört, die etwa nur die Unbestimmte /.ti allein enthalten. In die noch nicht
benützten Linearfunktionen setze man alsdann Ci für und wähle für c2
irgendeine rationale Zahl, die nicht zu den Nullstellen jener Linearfunktionen
gehört, bei denen nach der Ersetzung von /lii durch Ci nur die Unbestimmte ^2
allein enthalten ist. Hierauf ersetze man in allen Linearfunktionen auch noch
,«2 durch c2 und wähle für Cs irgendeine rationale Zahl, die verschieden ist von
den Nullstellen jener Funktionen, die dann nur ,w3 allein enthalten. So fahre
man fort. Sollte keine der Linearfunktionen etwa allein enthalten, so kann
für jede rationale Zahl genommen werden.
a) Der Beweis soll zuerst für den speziellen Fall erbracht werden,
daß die stets im Transmutationssystem S enthaltene identische
Transmutation E= I £2 • • • 2& ) jje fyr sjcp allein eine automorphe
Untergruppe von S bildet. Eine zu der identischen Transmutation E
zugehörige rationale Funktion heißt eine primitive oder s-wertige
Funktion des Körpers (P; qv q2, ..q^. Zum Beweise der Exi-
stenz primitiver Funktionen führen wir k Unbestimmte lu1, /li2, ...,
ein und bilden mit ihnen den Ausdruck F AB (?2F ■ • - F AB Qk-
Auf die soeben hingeschriebene Funktion wenden wir die von E ver-
schiedenen s—1 Transmutationen ( ] (i = 2, 3, . . ., s)
Q'2i • • • Qki/
an und erhalten die s — 1 Funktionen (n1 £4. + AB @2» F • • • F AB- Qki
(i = 1, 2, .. s). Aus ihnen bilden wir mit Hilfe von
AG Ql F AB @2 F • • • F AB: Qk
die s - 1 Differenzen + AB (@2 ~ Q2J + ---+^k (Qk ~ Qfy)
(i = 2, 3, ..., s); von ihnen verschwindet keine identisch, da die s — 1
Transmutationen ) (i = 2,3,..., s) vonP=^1
Q2f QkJ v 3 * * * 7 Q2 • • • Qk/
verschieden sind. Wählt man für /zx,/z2,...,/zfc irgendwelche rationale
Zahlen <4, c2, . .., ck, die so beschaffen sind, daß durch sie keine der
s — 1 Linearfunktionen
AL G?i — Qii) + AB fe — f?2i) F • • • F AB- ({?t ~ Qki) (i = 2,3,.. ., s)
verschwindet1), so ist G £1 F c2 &F • • • F ck Qk e‘ne primitive Funk-
tion, wie wir sie suchen; denn die von E verschiedenen Transmu-
tationen aus e> führen Cx ft + B (?2 F • ■ • F ck Qk in Fe s — 1 zu
ci Pi F c2 & F • • • F Ck Qk ungleichen Ausdrücke cx qu F c2 22i F • • • F
ck Qki & = 2,3,..., s) über.
Man sieht auch noch sofort ein, daß eine primitive Funktion
<4 <4 F c2 Qz -7-. . . F ck Qk nicht nur von den s — 1 Größen
3 Man findet Ci, c2, ..., Ck auf folgende Weise: Für Ci wähle man irgend-
eine rationale Zahl, die nicht zu den Nullstellen derjenigen unter den s — 1 Li-
nearfunktionen /n (61 — Ql?) 4- ,M2 (q2 — Q.2i) 4- ... 4- — Qki) (i = 2, 3, . . ., s)
gehört, die etwa nur die Unbestimmte /.ti allein enthalten. In die noch nicht
benützten Linearfunktionen setze man alsdann Ci für und wähle für c2
irgendeine rationale Zahl, die nicht zu den Nullstellen jener Linearfunktionen
gehört, bei denen nach der Ersetzung von /lii durch Ci nur die Unbestimmte ^2
allein enthalten ist. Hierauf ersetze man in allen Linearfunktionen auch noch
,«2 durch c2 und wähle für Cs irgendeine rationale Zahl, die verschieden ist von
den Nullstellen jener Funktionen, die dann nur ,w3 allein enthalten. So fahre
man fort. Sollte keine der Linearfunktionen etwa allein enthalten, so kann
für jede rationale Zahl genommen werden.