DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0048
48
Alfbed Loewy :
Pi 1 Pj, und nur die Transmutationen von P^-1 Pi lassen
die 1 Funktionen oli, a2i, .. ungeändert. Wir haben daher den
Satz 6. Es seien
öi (@15 Qn • • Qk)i (@15 @25 • • •, Qk)i • • v Gi (@i> @25 • • Qk)
rationale Funktionen von o3, p2, ..., p7.; durch Adjunktion
dieser l Funktionen zum Körper P reduziere sich das
Transmutationssystem der Dirigenten qv ok des Kör-
pers (P; q1: q2’• ■ QjO auf eine automorphe Untergruppe
Die GALoissche Zerlegung von S nach laute:
<5 = (&a Pi + S« P2 + . . • 4- Pta,
wobeiPi=(ft = ist.
Dann besteht das Transmutationssystem der Dirigenten
o2, .. ., al des Körpers (P; c^, o2,. . aus den Transmuta-
tionen
/ Öj (21, @25 • • -5 Qk) °2 (@15 @25 • • "5 @Ä:) • • • (@1, @2, • • @Ä') \
(@ii, @2?, • • •, Qki) U2 (@ji, @2i, • • ., @h) ... C>i (QU) Q2ii • . •, Qki)/
oder symbolisch
f' °i °2 • • ■ °i 4 _ i o f \
l(«l) P( (?2) &„ P4 .. . (<,,) g„ Pj. ~ h 4 •••. V
Die GALoissche Zerlegung von © nach läßt sich auch
® = P? (P,-1 (5ff Pl) + ?2 OV1 f« P2) + - • •+ Pta (Pta-1 Sa Pta)1)
schreiben. Hierbei ist P^-1 Sa Pj eine automorphe Unter-
gruppe des Transmutationssystems P?- ~1 der Dirigenten
@ii, @2i5 • • -5 @x-i des Körpers (P; 61i, Q2i, . . ., und die Trans-
mutationen von P^-i Sff, P;- ändern keine der l Funktionen
(@lt’ @2i> • • *5 Qki)’ °2 (@1?5 @215 • • Qki)’ • • •, (@li, @2i, • • '5 Qki)
ihrem Werte, während bei jeder P^-1 Sa P$ nicht angehöri-
gen Transmutation von @ mindestens eine der l Funktionen
einen ander n W e r t a n n i m m t.
Neben den Z Funktionen o1, o2, ... j Gl betrachten wir jetzt noch
eine zu zugehörige rationale Funktion oa @2,..., @J von 2P ^2, •.Qi-
mit Koeffizienten aus P. Da oa alle Transmutationen aus gestattet und
<5a das Transmutationssystem von .., Qi- im Körper (P; c^, <j2, ..., oz)
ist, muß eine Größe des Körpers sein (§ 1, Satz 3); mithin hat man
ca = P (a1? a2, ..., oz), wobei P eine rationale Funktion seiner Argu-
mente mit Koeffizienten aus P bedeutet.
4 Diese Zerlegung ergibt sich aus der am Ende des Satzes 5 im § 3 ab-
geleiteten für den besonderen Fall, daß S12 . . . z = Sa eine automorphe Unter-
gruppe ist. Man hätte den Satz des Textes auch als Spezialfall aus Satz 5 des
§ 3 herleiten können.
Alfbed Loewy :
Pi 1 Pj, und nur die Transmutationen von P^-1 Pi lassen
die 1 Funktionen oli, a2i, .. ungeändert. Wir haben daher den
Satz 6. Es seien
öi (@15 Qn • • Qk)i (@15 @25 • • •, Qk)i • • v Gi (@i> @25 • • Qk)
rationale Funktionen von o3, p2, ..., p7.; durch Adjunktion
dieser l Funktionen zum Körper P reduziere sich das
Transmutationssystem der Dirigenten qv ok des Kör-
pers (P; q1: q2’• ■ QjO auf eine automorphe Untergruppe
Die GALoissche Zerlegung von S nach laute:
<5 = (&a Pi + S« P2 + . . • 4- Pta,
wobeiPi=(ft = ist.
Dann besteht das Transmutationssystem der Dirigenten
o2, .. ., al des Körpers (P; c^, o2,. . aus den Transmuta-
tionen
/ Öj (21, @25 • • -5 Qk) °2 (@15 @25 • • "5 @Ä:) • • • (@1, @2, • • @Ä') \
(@ii, @2?, • • •, Qki) U2 (@ji, @2i, • • ., @h) ... C>i (QU) Q2ii • . •, Qki)/
oder symbolisch
f' °i °2 • • ■ °i 4 _ i o f \
l(«l) P( (?2) &„ P4 .. . (<,,) g„ Pj. ~ h 4 •••. V
Die GALoissche Zerlegung von © nach läßt sich auch
® = P? (P,-1 (5ff Pl) + ?2 OV1 f« P2) + - • •+ Pta (Pta-1 Sa Pta)1)
schreiben. Hierbei ist P^-1 Sa Pj eine automorphe Unter-
gruppe des Transmutationssystems P?- ~1 der Dirigenten
@ii, @2i5 • • -5 @x-i des Körpers (P; 61i, Q2i, . . ., und die Trans-
mutationen von P^-i Sff, P;- ändern keine der l Funktionen
(@lt’ @2i> • • *5 Qki)’ °2 (@1?5 @215 • • Qki)’ • • •, (@li, @2i, • • '5 Qki)
ihrem Werte, während bei jeder P^-1 Sa P$ nicht angehöri-
gen Transmutation von @ mindestens eine der l Funktionen
einen ander n W e r t a n n i m m t.
Neben den Z Funktionen o1, o2, ... j Gl betrachten wir jetzt noch
eine zu zugehörige rationale Funktion oa @2,..., @J von 2P ^2, •.Qi-
mit Koeffizienten aus P. Da oa alle Transmutationen aus gestattet und
<5a das Transmutationssystem von .., Qi- im Körper (P; c^, <j2, ..., oz)
ist, muß eine Größe des Körpers sein (§ 1, Satz 3); mithin hat man
ca = P (a1? a2, ..., oz), wobei P eine rationale Funktion seiner Argu-
mente mit Koeffizienten aus P bedeutet.
4 Diese Zerlegung ergibt sich aus der am Ende des Satzes 5 im § 3 ab-
geleiteten für den besonderen Fall, daß S12 . . . z = Sa eine automorphe Unter-
gruppe ist. Man hätte den Satz des Textes auch als Spezialfall aus Satz 5 des
§ 3 herleiten können.