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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0010
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Wolfgang Krull:
Liegen nunmehr die Voraussetzungen von Satz 3 vor, so haben wir in
Pj) eine Kr. von (A, B) und es istjs =ja +jb -jd, js pjd=ja +jb.
Aus dem Beweise ergibt sich noch:
Ist B Untergruppe von A, so ist die JonDANsche
Invariante von B höchstens gleich der von A, und das
Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn A und B iden-
tisch sind.
Satz 4. Die JoBDANsche Invariante j einer v. e. A. G. A
kann folgendermaßen charakterisiert werden:
A enthält mindestens eine j1-gliedrige, aber keine
J + 2-gliedrige echte Unter- oder Obergruppenkette.
Zum BeAveise ist nur zu bedenken, daß V, P^ P2,... P^P2.. SPn
bzw. P1P2..SPW P1P2...''Pn_1, ...Px, N eine n-f-1 gliedrige echte
Unter- bzw. Obergruppenkette aus A darstellt, falls P1"P2".. SPn eine
JoKDANsche Kr. von A bedeutet.
§3.
Vordere und hintere Loewysche Kr.
Eine Gruppe, die sich als direkte Summe irreduzibler Summanden
darstellen läßt, heißt vollständig reduzibel (v. red.). Über v. red. G.
gelten folgende Hilfssätze:
a) Die Summe endlich vieler v. red. G. ist selbst v. red.
Es sei A == ((Ax, A2, ... An)); Ai = ((Pu, Pi2, ■ • • Piii)) mit irredu-
zibeln Pik; dann kann man aus der Reihe der PiJc (i = 1, 2...n; 7c =1,
2 ... Zj stets m < Gruppen Pv P2, ... Pm so auswählen, daß A —
((Pi, P2, ... PmJ) wird.
b) Sieht man isomorphe Gruppen als nicht verschied en
an, so ist die Darstellung einer v. red. G. durch irreduzible
Summanden eindeutig bestimmt.
Folgt aus Satz 2; ist nämlich A = ((Pp P2, ... _Pm)) mit irreduzibeln
Ph so stellt P^P2.. ."Pn eine JonDANsche Kr. von A dar.
c) Bedeutet A eine v. red. G., B eine bei. Untergruppe
von A, so ist auch B v. red., und es gibt eine direkte Sum-
mendarstellung A= ((P,P)), bei der B als Sum raand auftritt
Zum Beweise vgl. Zt. § 3 Satz 5.
d) Ist sowohl A^AX als A|A2 v. red., so ist auch A\[AV A2]
v. red.
Setzt man Al|yl2 = B1; A2^A1 = B2; AI(Alf A^)= C, so ist A\[AVA2] —
((BvB2)yC; AjAj^ — ByC; A\A2= B/C. Wegen der vollständigen
Reduzibilität von A^ und A|A2 müssen ferner zwei Gleichungen A A1 -
Wolfgang Krull:
Liegen nunmehr die Voraussetzungen von Satz 3 vor, so haben wir in
Pj) eine Kr. von (A, B) und es istjs =ja +jb -jd, js pjd=ja +jb.
Aus dem Beweise ergibt sich noch:
Ist B Untergruppe von A, so ist die JonDANsche
Invariante von B höchstens gleich der von A, und das
Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn A und B iden-
tisch sind.
Satz 4. Die JoBDANsche Invariante j einer v. e. A. G. A
kann folgendermaßen charakterisiert werden:
A enthält mindestens eine j1-gliedrige, aber keine
J + 2-gliedrige echte Unter- oder Obergruppenkette.
Zum BeAveise ist nur zu bedenken, daß V, P^ P2,... P^P2.. SPn
bzw. P1P2..SPW P1P2...''Pn_1, ...Px, N eine n-f-1 gliedrige echte
Unter- bzw. Obergruppenkette aus A darstellt, falls P1"P2".. SPn eine
JoKDANsche Kr. von A bedeutet.
§3.
Vordere und hintere Loewysche Kr.
Eine Gruppe, die sich als direkte Summe irreduzibler Summanden
darstellen läßt, heißt vollständig reduzibel (v. red.). Über v. red. G.
gelten folgende Hilfssätze:
a) Die Summe endlich vieler v. red. G. ist selbst v. red.
Es sei A == ((Ax, A2, ... An)); Ai = ((Pu, Pi2, ■ • • Piii)) mit irredu-
zibeln Pik; dann kann man aus der Reihe der PiJc (i = 1, 2...n; 7c =1,
2 ... Zj stets m < Gruppen Pv P2, ... Pm so auswählen, daß A —
((Pi, P2, ... PmJ) wird.
b) Sieht man isomorphe Gruppen als nicht verschied en
an, so ist die Darstellung einer v. red. G. durch irreduzible
Summanden eindeutig bestimmt.
Folgt aus Satz 2; ist nämlich A = ((Pp P2, ... _Pm)) mit irreduzibeln
Ph so stellt P^P2.. ."Pn eine JonDANsche Kr. von A dar.
c) Bedeutet A eine v. red. G., B eine bei. Untergruppe
von A, so ist auch B v. red., und es gibt eine direkte Sum-
mendarstellung A= ((P,P)), bei der B als Sum raand auftritt
Zum Beweise vgl. Zt. § 3 Satz 5.
d) Ist sowohl A^AX als A|A2 v. red., so ist auch A\[AV A2]
v. red.
Setzt man Al|yl2 = B1; A2^A1 = B2; AI(Alf A^)= C, so ist A\[AVA2] —
((BvB2)yC; AjAj^ — ByC; A\A2= B/C. Wegen der vollständigen
Reduzibilität von A^ und A|A2 müssen ferner zwei Gleichungen A A1 -