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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0018
18
Wolfgang Krull:
Bedeuten 7?/^; 7z D) bzw. 7z^r); 7z/^ die Invarianten-
serien von p bzw. (0), so ist — vfl) = Ti^= 0; v® -
Ferner gilt:
Satz 11. Stimmen a und 6 in ihren Invariantenserien
überein, so sind bei den LoEWYschen Kr. von a und 6, pia
und p|b jeweils entsprechende Glieder isomorph.
Bedeuten h^-, v^r\ bzw. die In-
variantenserien von a bzw. 6, und ist a = 0(6), so gelten
die Ungleichungsserien 7z/r). Steht in einer
der beiden Serien überall das Gleichheitszeichen, so steht
es auch überall in der andern, und es ist a = 6.
Ist (0) = [apa2> • • • °n] bzw. a = [cq, a2,...a,J eine kürzeste Dar-
stellung von (0) bzw. a, und bedeuten die cq- Vielfache von
a bzw. p, die sich nicht als kleinstes gemeinschaftliches
Vielfaches durch a bzw. p teilbarer echter Teiler darstellen
lassen, so ist n — bzw. n — v^r\
Haben wir in a = (a1? Q2,...dw) bzw. p = (cq, a2, •.. ön) eine Dar-
stellung von a bzw. p durch solche cq-, die sich nicht als
größter gemeinschaftlicher Teiler von in (0) bzw. a aufgehen-
den echten Vielfachen darstellen lassen, so gilt die Glei-
ch u n g n = b z w. n = 7q<D,
Die Behauptungen ergeben sich der Reihe nach durch Anwendung
des Hilfssatzes, des Satzes 7, sowie der Sätze 9 b und 9 a.
§5-
Bezeichnungen und Sätze aus der Theorie der Matrizen
und hyperkomplexen Größen.
Eine Matrix bedeutet im folgenden stets eine quadratische Matrix
mit Koeffizienten aus einem festen Körper Alle bei ein und der-
selben Untersuchung auftretenden Matrizen sollen gleichen Grad besitzen.
Für Körperelemente verwenden wir kleine lateinische, für Matrizen
große griechische Buchstaben, unter (a) soll eine Matrix der besonderen
ao... o
ato...o
oa...o
verstanden werden. Eine Matrix der Form
Gestalt
o.. .oa
a,,o...o
a2o...o
machte. — Der Grundgedanke der oben durchgeführten Untersuchung läßt sich
auf viel allgemeinere Ringe, nämlich auf solche, die nur dem Endlichkeits-
axiom 1 genügen, übertragen. Doch handelt es sich dabei im wesentlichen um
ein Problem der Ideal-, nicht um ein solches der Gruppentheorie.
Wolfgang Krull:
Bedeuten 7?/^; 7z D) bzw. 7z^r); 7z/^ die Invarianten-
serien von p bzw. (0), so ist — vfl) = Ti^= 0; v® -
Ferner gilt:
Satz 11. Stimmen a und 6 in ihren Invariantenserien
überein, so sind bei den LoEWYschen Kr. von a und 6, pia
und p|b jeweils entsprechende Glieder isomorph.
Bedeuten h^-, v^r\ bzw. die In-
variantenserien von a bzw. 6, und ist a = 0(6), so gelten
die Ungleichungsserien 7z/r). Steht in einer
der beiden Serien überall das Gleichheitszeichen, so steht
es auch überall in der andern, und es ist a = 6.
Ist (0) = [apa2> • • • °n] bzw. a = [cq, a2,...a,J eine kürzeste Dar-
stellung von (0) bzw. a, und bedeuten die cq- Vielfache von
a bzw. p, die sich nicht als kleinstes gemeinschaftliches
Vielfaches durch a bzw. p teilbarer echter Teiler darstellen
lassen, so ist n — bzw. n — v^r\
Haben wir in a = (a1? Q2,...dw) bzw. p = (cq, a2, •.. ön) eine Dar-
stellung von a bzw. p durch solche cq-, die sich nicht als
größter gemeinschaftlicher Teiler von in (0) bzw. a aufgehen-
den echten Vielfachen darstellen lassen, so gilt die Glei-
ch u n g n = b z w. n = 7q<D,
Die Behauptungen ergeben sich der Reihe nach durch Anwendung
des Hilfssatzes, des Satzes 7, sowie der Sätze 9 b und 9 a.
§5-
Bezeichnungen und Sätze aus der Theorie der Matrizen
und hyperkomplexen Größen.
Eine Matrix bedeutet im folgenden stets eine quadratische Matrix
mit Koeffizienten aus einem festen Körper Alle bei ein und der-
selben Untersuchung auftretenden Matrizen sollen gleichen Grad besitzen.
Für Körperelemente verwenden wir kleine lateinische, für Matrizen
große griechische Buchstaben, unter (a) soll eine Matrix der besonderen
ao... o
ato...o
oa...o
verstanden werden. Eine Matrix der Form
Gestalt
o.. .oa
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machte. — Der Grundgedanke der oben durchgeführten Untersuchung läßt sich
auf viel allgemeinere Ringe, nämlich auf solche, die nur dem Endlichkeits-
axiom 1 genügen, übertragen. Doch handelt es sich dabei im wesentlichen um
ein Problem der Ideal-, nicht um ein solches der Gruppentheorie.