Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der reelleÜbergang zwischen den beiden nichteuklidischen Geometrien usw. 5

Gleichung 1 in 2 überführt. Da in diesem Falle y' imaginär sein
müßte, so folgt die bekannte Möglichkeit, den Übergang durch Imaginär-
werdenlassen der Seiten zu bewerkstelligen. Die Winkelfunktionen werden
unverändert übernommen. Es wird sich später zeigen, aus welchem Grunde
Seiten und Winkel verschieden behandelt werden müssen. Es ist also:
ch c = ——7 und
cos y
ch c = cos yi, somit:
(1) cosy'- cosy/ = 1.
Ordnet man yi als Winkelgröße aufgefaßt ein imaginäres Parallellot
zu, so folgt: (2) thcMhc.'=1.
Die beiden Strecken, die den Übergang vermitteln, sind also kon-
jugiert in bezug auf den absoluten Kreis.

Konstruktion der zugeordneten Dreiecke.

Denken wir uns auf der Ebene des Dreiecks
ABC in den Ecken Lote errichtet und um eine
der Ecken z. B. C eine Kugel mit dem Radius r
beschrieben, wobei sh r = 1 ist. In den durch
die Lote bestimmten, auf ABC senkrechten
Ebenen seien zu den Kanten des Prismas die
Parallelen gezogen durch die Ecken A,B,C. Zwei
davon schneiden aus der Kugeloberfläche sofort
die beiden Seiten a' und ß' heraus. Der Winkel,
den sie einschließen, ist v; damit er die richtige
Größe vi erhält, sind die beiden Seiten auseinander-
zudrehen, und zwar so weit, bis die dritte Seite
y' das Dreieck schließt, y' ergibt sich leicht, wenn
man in der Ebene ABE'E durch A die Parallele


zu BE' zieht bzw. durch B zu A E und um A bzw. um B den Kreis

mit dem benutzten Kugelradius legt.
Handelt es sich aber um ein rechtwinkliges Drei-
eck (r = = yü, so entsteht zwischen a' und ß' so-
fort der richtige Winkel, somit sofort das geschlossene
Dreieck. Das Ziehen der dritten Parallelen erübrigt
sich. Die beiden andern Winkel sind die Komplemente
von 2 und /z in vertauschter Lage, so daß jetzt
gegenüberliegt.



Fig. 2.