Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser:

Verfährt man ebenso mit den Seiten b und c, so ergibt sich der Satz:
Jedes hyperbolische Dreieck bestimmt ein sphärisches, dessen Seiten
die Komplemente der Parallelwinkel des ersten Dreiecks und dessen
Winkel bestimmt sind durch die Gleichungen:
, , , , cos 2
cos Zi = cos 2 • cos a = —
ch a

cos u
3. cos
r ch b

COS V
COS VI — — —
ch c

Da die Nenner stets positiv und größer als 1 sind, so folgt: Sind
die Winkel des hyperbolischen Dreiecks spitz, so sind es auch die sphäri-
schen (wenn man die Beschränkung, daß sie kleiner als % sind, hinzu-
nimmt), jedoch sind sie größer. Ist dagegen einer der hyperbolischen
Winkel stumpf, so ist der entsprechende sphärische zwar auch noch
stumpf, aber kleiner. Die beiden andern sind dann natürlich größer.

% . 7t
Ist aber einer z. B. v — so ist auch vx = wenn c endlich bleibt,
M Ci

d. h. es entsprechen sich rechtwinklige Dreiecke. Dann vereinfachen
sich die Formeln 3. Es ist dann nämlich cos 2 = ch a • sin [i, also folgt:
cos 2j = sin und daher:

4.

Zj g

71
D =57 = 2

Zum rechtwinkligen hyperbolischen Dreieck gehört mithin ein recht-
winkliges sphärisches, dessen Seiten die Komplemente der Parallelwinkel
des ersten, dessen Winkel die Komplemente der Winkel des ersten sind,
jedoch in vertauschter Lage.
Selbstverständlich läßt sich zeigen, daß bei Anwendung der Gleichun-
gen 3 auch die Winkelkosinussätze ineinander übergehen.

§2.
Zusammenhang mit dem imaginären Übergang.
Die Gegenüberstellung der Gleichungen 1 und 2 zeigt, daß außer
der reellen Substitution ch c = —-—7- auch die rein formale Beziehung:
cos y
ch c = cos y'