Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der reelle Übergang zwischen den beiden nichteuklidischen Geometrien usw. 7

Es bleibt noch die Tatsache zu erklären, daß hyperbolisch der
Kosinus gleich den Kotangenten der anliegenden Stücke und gleich
dem Sinus der gegenüberliegenden Stücke ist, sphärisch aber umgekehrt.
Die imaginäre Zuordnung gibt hierauf keine Antwort, wohl aber die
reelle. Es folgt z. B. aus Figur I;
ehe — c tha' • c th b'
= cha-chb oder:
cosyz = sina-sin/9
in Übereinstimmung mit dem Satz für Figur II.

Spitzeck und Stumpfeck.

A aber treten die

Die Parallelen.
Es sei ein Spitzeck mit den beiden zugeordneten Dreiecken gegeben
(Fig. 5). Der Winkel A werde durch die Diagonale in die beiden Teile Ax
und A2 zerlegt. Konstruiert man wie in Fig. 2 zu den beiden' so ent-
standenen Teildreiecken die entsprechenden sphärischen Dreiecke und
legt die Mittelpunkte der zur Konstruktion notwendigen Kreise wieder
zusammen, so entsteht ein Stumpfeck. Da die Winkel sich vertauschen.
So tritt an Stelle des rechten Winkels im Spitz eck hier der Winkel
g- — + Q — A2 = tc — A, an Stelle des Winkels


In I ist bekanntlich a parallel zu a (Parallelenkonstruktion). Aber
auch in II wird az parallel zu cd, wenn wir aus der Ebene herausgehen.
Es ist noch zu zeigen, daß auch die sphärischen Dreiecke in das Viereck
hineinfallen. In I ist nämlich ß < A, denn ß auf A gelegt, würde den freien
Schenkel (der andere auf b) parallel zu c haben. Folglich: ß' > A', der
Eckpunkt des Dreiecks fällt auf die Vierecksseite Selbst, nicht auf die
Verlängerung.