Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der reelle Übergang zwischen den beiden nichteukli-
dischen Geometrien und ihrem Parallelenbegriff.

Einleitung.
Es ist bekannt, daß man die hyperbolische Trigonometrie erhält,
wenn man in der sphärischen den Radius imaginär einführt. Loba-
tscheffskij zeigte zuerst, wie man auf reellemWege dem rechtwinkligen
Dreieck der einen Ebene ein rechtwinkliges der andern Ebene zuordnet,
von der Tatsache Gebrauch machend, daß auch auf der hyperbolischen
Kugel mit reellem Zentrum die sphärische Geometrie gilt. Jedoch ent-
sprechen sich auch noch andere Figuren in beiden Raumformen und
lassen sich aus einander herleiten, so daß man allgemein von einem reellen
Übergang reden kann. Beim schiefwinkligen Dreieck folgt mit dem
reellen Zusammenhang zugleich der imaginäre. Die zusammengehörigen
Strecken lassen sich leicht aus einander konstruieren. Bei der Spezialisie-
rung auf das rechtwinklige Dreieck ergibt sich eine wesentliche Ver-
einfachung in Konstruktion und Formeln, es tritt dabei eine Ver-
tauschung der Winkel ein. Der LoBATSCHEFFSKiJSche Zusammenhang
folgt durch Bildung der Kette zugeordneter Dreiecke. Das Spitzeck
*bedingt ein sphärisches Stumpfeck und daraus folgt eine Beziehung
zwischen der Parallelität zweier Linien in der einen Geometrie mit der
in der andern.

Die Gleichungen des Dreiecks in beiden Ebenen.
Der Seitenkosinussatz der hyperbolischen Trigonometrie lautet:
1. ehe = cha-chb — sha-shb cos v
Ersetzt man die Seiten durch die zugehörigen Parallel winkel, so folgt:
1 1
-= —-r—77 — COt a • COt ß ■ COS V.
smy sma-smp '
oder die Komplemente mit a' ß' y' bezeichnet und anders geordnet:
2. cos yr — cos a' cos ß’ -R sin a sin ß' cos v cos y'
Das ist aber der sphärische Kosinussatz, wenn man den y' gegenüber
liegenden Winkel v1 als bestimmt ansieht durch die Gleichung:
cos — cos v cos y'

1*