Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Oberfläche von Flächenstücken.

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die für den Fall isothermer Parameter nach (B') in die besonders ein-

fache Form
0”=-i/küs
(SR)

gebracht werden kann.

§2.
Herleitung der Formel (A).
Im Anschluß an Gauss1) hat Herr Blaschke2) für die erste Va-
riation der Oberfläche eines Flächenstückes

x = x(u,v), y = y(w, F), ^ = ^(w,v),
auf welchem die Kurven w = const. und -y = const. Krümmungslinien
sind, die folgende Formel:

(11)


<50 = £) -j*J 2H(ö&£u,tv)dudv

öx,x'u^A-x'v^,X
ds ds
ÖX x'u x'v
„ .du , . dv „
ds — ff 2 H
öy y'u y'v
. , die , , dv „
(83)
8 u S y

du dv

und aus ihr die ScHWARZSche Formel für die Oberfläche eines Minimal-
flächenstückes hergeleitet. Wir wollen zeigen, daß die Methode des
Herrn Blaschke auch bei einer beliebigen Fläche anwendbar ist.
Die Fläche (1), deren Oberfläche wir berechnen wollen, werde mit
$ bezeichnet. Neben derselben betrachten wir eine Schar ähnlicher und
bezüglich des Koordinatenursprungs ähnlich gelegener Flächen mit
den Parameterdarstellungen
(12) x = kx(u,v), y = ty(u,v), 0 = kz(u,v) (O<V<^1);

Krümmungslinien sind; nun bilden aber auf einer Minimalfläche die Krümmungs-
linien ein isothermes Netz, vgl. G. Scheffers, Anwendung der Differential- und
Integralrechnung auf Geometrie, Bd. II, Leipzig, Veit & Co., 1913, Seite 317;
Herr Blaschke macht also bezüglich der Parameterkurven dieselbe Voraus-
setzung wie Schwarz.
b Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibri, Werke,
Bd. 5, Seite 31—77, besonders Seite 56—66.
2) W. Blaschke, a. a. 0. § 93.