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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0012
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Alfred Loewy:
Der Kern von © ist die in © enthaltene maximale auto-
morphe Untergruppe der Dirigenten p1; q2, ..ok des Körpers
(P; p2,..pfc) [vgl. Satz 1 des § 4 (IS. 37)], und man hat die
Zerlegung S = €Vm) + P2 fi- P3 + • • • + ®a(w) Pta) [Satz 2
des § 4 (I S. 39)].
Ist 11 irgendeine im Kern ® einer Mischgruppe enthaltene Unter-
gruppe, so bestimmt U eine neue Mischgruppe. Das neue Trans-
mutationssystem bezeichne ich mit iX|ll|| und nenne es die Quo-
tientenmischgruppe ||3? U. . Die Elemente dieser Mischgruppe
sind die Komplexe, die sich bei der Zerlegung der Mischgruppe nach
der im Kern Q) von $ befindlichen Untergruppe U ergeben; ebenso
wie man 3) nach seinem Kern @ zerlegen kann, läßt sich $ auch durch
Fortführung der Zerlegung nach jeder in ® enthaltenen Untergruppe 11
zerlegen.1 II) Zur näheren Untersuchung von j|$|lli| betrachten wir die
Gesamtheit derjenigen Elemente N des Kernes @ von die mit U
vertauschbar sind, für die also N11 ist; diese Elemente bilden
eine Gruppe 91, den sogenannten Norraalisator von U — die größte
Untergruppe von @, in der 11 invariant ist.
Wir zerlegen $ nach der in $ enthaltenen Untergruppe 91 und
erhalten
(1) $ = 9l + 91P2G91P3 + ... + 9lP2„
wobei P2, P3, . . ., P?J Elemente aus T bedeuten und die Komplexe
91, 91P2, 91P3, • 91P^ untereinander elementenfremd sind. Durch
Zerlegung der Gruppe 91 nach ihrer Untergruppe U ergebe sich:
(2) 91 = n + U7V2 + U7V3 + ... + ll^.
Dann besteht für 2 die folgende Zerlegung (3) nach 11:
(3) $ = u-mv2 + iuv3 + ...^u< +
UP2 + U7V2P2 + U^3P2 + ... + ll^P2 +
11X + U W2Pp + II2V3 Pp -r • • • + ll^Pp,
wobei die Elemente von X111 |j die auf der rechten Seite von (3)
1) Ist 2 selbst eine Gruppe, besteht also JE nur aus Elementen seines Kernes
®, so sind die Elemente von || JE ] 11 || in der Terminologie des Lehrbuches der
Algebra von H. Weber (Bd..2, S. 8, Braunschweig, 2. Auflage, 1899) 11 und seine
Nebengruppen. Ist JE = ® und ist außerdem noch 11 invariante Untergruppe
von ®, fällt also der Normalisator 91 von 11 mit ® = JE zusammen, so geht
II JE | 11 || in die von C. Jordan (Bulletin de la soc. de France, 1, 46 [1873]) in
die Wissenschaft eingeführte und von 0. Holder (Math. Annalen 34, 33 [1889])
wiedergefundene Quotientengruppe ® | 11 über.
Alfred Loewy:
Der Kern von © ist die in © enthaltene maximale auto-
morphe Untergruppe der Dirigenten p1; q2, ..ok des Körpers
(P; p2,..pfc) [vgl. Satz 1 des § 4 (IS. 37)], und man hat die
Zerlegung S = €Vm) + P2 fi- P3 + • • • + ®a(w) Pta) [Satz 2
des § 4 (I S. 39)].
Ist 11 irgendeine im Kern ® einer Mischgruppe enthaltene Unter-
gruppe, so bestimmt U eine neue Mischgruppe. Das neue Trans-
mutationssystem bezeichne ich mit iX|ll|| und nenne es die Quo-
tientenmischgruppe ||3? U. . Die Elemente dieser Mischgruppe
sind die Komplexe, die sich bei der Zerlegung der Mischgruppe nach
der im Kern Q) von $ befindlichen Untergruppe U ergeben; ebenso
wie man 3) nach seinem Kern @ zerlegen kann, läßt sich $ auch durch
Fortführung der Zerlegung nach jeder in ® enthaltenen Untergruppe 11
zerlegen.1 II) Zur näheren Untersuchung von j|$|lli| betrachten wir die
Gesamtheit derjenigen Elemente N des Kernes @ von die mit U
vertauschbar sind, für die also N11 ist; diese Elemente bilden
eine Gruppe 91, den sogenannten Norraalisator von U — die größte
Untergruppe von @, in der 11 invariant ist.
Wir zerlegen $ nach der in $ enthaltenen Untergruppe 91 und
erhalten
(1) $ = 9l + 91P2G91P3 + ... + 9lP2„
wobei P2, P3, . . ., P?J Elemente aus T bedeuten und die Komplexe
91, 91P2, 91P3, • 91P^ untereinander elementenfremd sind. Durch
Zerlegung der Gruppe 91 nach ihrer Untergruppe U ergebe sich:
(2) 91 = n + U7V2 + U7V3 + ... + ll^.
Dann besteht für 2 die folgende Zerlegung (3) nach 11:
(3) $ = u-mv2 + iuv3 + ...^u< +
UP2 + U7V2P2 + U^3P2 + ... + ll^P2 +
11X + U W2Pp + II2V3 Pp -r • • • + ll^Pp,
wobei die Elemente von X111 |j die auf der rechten Seite von (3)
1) Ist 2 selbst eine Gruppe, besteht also JE nur aus Elementen seines Kernes
®, so sind die Elemente von || JE ] 11 || in der Terminologie des Lehrbuches der
Algebra von H. Weber (Bd..2, S. 8, Braunschweig, 2. Auflage, 1899) 11 und seine
Nebengruppen. Ist JE = ® und ist außerdem noch 11 invariante Untergruppe
von ®, fällt also der Normalisator 91 von 11 mit ® = JE zusammen, so geht
II JE | 11 || in die von C. Jordan (Bulletin de la soc. de France, 1, 46 [1873]) in
die Wissenschaft eingeführte und von 0. Holder (Math. Annalen 34, 33 [1889])
wiedergefundene Quotientengruppe ® | 11 über.