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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0013
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 5
stehenden np Komplexe 112V.P; (z = 1,2,..., n; j =1,2,.. :,p^) sind und
N1 = Px das Einheitselement von @ bedeutet. Sind H2XQ und ll-ZV/.
zwei Komplexe, die in der ersten Zeile auf der rechten Seite von ('S)
stehen, so ist (112VZ) (112V*) = 11 (^U) Nk = U (112V,-) 2VZc = (UU) NjNJc
= U2VZ2VZ, = 11 Nj, wobei 2VZ = 2VZ2VZ: wegen des Gruppencharakters von
91 ein Element aus 91, also 112V; ein Komplex aus der ersten Zeile von
(3) ist. Die Komplexe der ersten Zeile von (3) bilden also eine Gruppe,
die Quotientengruppe 91 11; diese ist der Kern von 11!;.
Irgendein Transmutationssystem 37* heißt zu der Quotientenmisch-
gruppe $ 11 isomorph, wenn aus np Elementen besteht und der
Kern von 3/ eine zu dem Kern von & U (das ist die Quotienten-
gruppe 91 11) isomorphe Gruppe ist. Dann läßt sich 34 in der Form
schreiben:
(3*) 3? = Tj* + 7’2* + ... + Tn* +
P2* + T2*P2* + • • • + Tn* P2* +
Tt*P^ + T2*P/ + ... + Tn*Pv*f
wobei die Elemente 2Q*, T2*, . .., Tn* eine Gruppe bilden, den Kom-
plexen 91, 91U2,. •9111;l entsprechen und die Zuordnung so beschaffen
ist, daß, wenn T* und H2SQ, un^ U2VZ, Partner voneinander sind,
dies auch stets für die Produkte und (U2VJ (112VÄ.) —
11N- Nj. = 11 Nj zutrifft. Ordnet man den Elementen 7\*PZ* (/c= 1,2,...,«;
2 = 2, 3,. . .,p) von 34 die Komplexe 112VZ.PZ von T 11 zu, so hat man
(112V,-) (U2V/;Pz) = UH2Vz2VZ;Pz = U2Vi2Vz.Pz = 112V?Pz und diesem Kom-
plex entspricht kraft unserer Zuordnung 7)* Pz* — T* Tk* Pz* -
(77*) (7\.*PZ*), also das Produkt jener Elemente, die den Komplexen
112Q und U2VZ.PZ zugeordnet sind.
Für das Folgende ist es noch erforderlich, einen weiteren Begriff
einzuführen, nämlich den des Hyperisomorphismus der Misch-
gruppe 34 mit der Quotientenmischgruppe U • Die Mischgruppe
34 soll zu 2 U hyperisomorph heißen, wenn 34 aus np Ele-
menten besteht, die Elemente T-f, T2:, ..., Tn* eine zu dem Kern von
37 j 11 , der Quotientengruppe 9c 11 isomorphe Gruppe bilden, ohne daß
die Elemente 7^*, T2*, ..., 7\* notwendig den Kern von 34 erschöpfen
müssen, die Elemente 7^*, T2*, . .., Tn* brauchen also im Falle des
Hyperisomorphismus eventuell nur eine Untergruppe des Kerns von 34
zu bilden. Ist 34 hyperisomorph zu 37 11 j|, so können demnach die «p
Elemente von 37* sich gegebenenfalls in umfassenderer Weise kom-
ponieren lassen, als dies für die auf der rechten Seite von (3) ste-
henden Komplexe, die Elemente von ||37 11 , zutrifft.
stehenden np Komplexe 112V.P; (z = 1,2,..., n; j =1,2,.. :,p^) sind und
N1 = Px das Einheitselement von @ bedeutet. Sind H2XQ und ll-ZV/.
zwei Komplexe, die in der ersten Zeile auf der rechten Seite von ('S)
stehen, so ist (112VZ) (112V*) = 11 (^U) Nk = U (112V,-) 2VZc = (UU) NjNJc
= U2VZ2VZ, = 11 Nj, wobei 2VZ = 2VZ2VZ: wegen des Gruppencharakters von
91 ein Element aus 91, also 112V; ein Komplex aus der ersten Zeile von
(3) ist. Die Komplexe der ersten Zeile von (3) bilden also eine Gruppe,
die Quotientengruppe 91 11; diese ist der Kern von 11!;.
Irgendein Transmutationssystem 37* heißt zu der Quotientenmisch-
gruppe $ 11 isomorph, wenn aus np Elementen besteht und der
Kern von 3/ eine zu dem Kern von & U (das ist die Quotienten-
gruppe 91 11) isomorphe Gruppe ist. Dann läßt sich 34 in der Form
schreiben:
(3*) 3? = Tj* + 7’2* + ... + Tn* +
P2* + T2*P2* + • • • + Tn* P2* +
Tt*P^ + T2*P/ + ... + Tn*Pv*f
wobei die Elemente 2Q*, T2*, . .., Tn* eine Gruppe bilden, den Kom-
plexen 91, 91U2,. •9111;l entsprechen und die Zuordnung so beschaffen
ist, daß, wenn T* und H2SQ, un^ U2VZ, Partner voneinander sind,
dies auch stets für die Produkte und (U2VJ (112VÄ.) —
11N- Nj. = 11 Nj zutrifft. Ordnet man den Elementen 7\*PZ* (/c= 1,2,...,«;
2 = 2, 3,. . .,p) von 34 die Komplexe 112VZ.PZ von T 11 zu, so hat man
(112V,-) (U2V/;Pz) = UH2Vz2VZ;Pz = U2Vi2Vz.Pz = 112V?Pz und diesem Kom-
plex entspricht kraft unserer Zuordnung 7)* Pz* — T* Tk* Pz* -
(77*) (7\.*PZ*), also das Produkt jener Elemente, die den Komplexen
112Q und U2VZ.PZ zugeordnet sind.
Für das Folgende ist es noch erforderlich, einen weiteren Begriff
einzuführen, nämlich den des Hyperisomorphismus der Misch-
gruppe 34 mit der Quotientenmischgruppe U • Die Mischgruppe
34 soll zu 2 U hyperisomorph heißen, wenn 34 aus np Ele-
menten besteht, die Elemente T-f, T2:, ..., Tn* eine zu dem Kern von
37 j 11 , der Quotientengruppe 9c 11 isomorphe Gruppe bilden, ohne daß
die Elemente 7^*, T2*, ..., 7\* notwendig den Kern von 34 erschöpfen
müssen, die Elemente 7^*, T2*, . .., Tn* brauchen also im Falle des
Hyperisomorphismus eventuell nur eine Untergruppe des Kerns von 34
zu bilden. Ist 34 hyperisomorph zu 37 11 j|, so können demnach die «p
Elemente von 37* sich gegebenenfalls in umfassenderer Weise kom-
ponieren lassen, als dies für die auf der rechten Seite von (3) ste-
henden Komplexe, die Elemente von ||37 11 , zutrifft.