Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 7

Aus dem automorphen Charakter von Na folgt die Existenz
von In rationalen Funktionen JCi (a-p o2, •.von ox, o2,..., oz
(h = 1, 2, ..., I; i — 1, 2, . . ., n) mit Koeffizienten aus P, so daß

ist.

(4)


(gz)@«Az = Bti (alf o2, .. o^,
(i = 1, 2, ..n}

Daß das Transmutationssystem A

aus den n p Transmutationen

<(O Pj (ö2) Ni Py • • • (öz) Ni Pj

(i = 1,2, ..., n; j = 1,2, ..., p~) besteht, die der aus den Relationen
(1) und (2) zu entnehmenden Galoissehen Zerlegung
(3) & = &a + &aN2 + &aN3+... + &aNn +
P2 + A2 P2 + Ns P2 + ... + Nn P2 +.

’&a Pp "T N2 Pp ß- N3 Pj, + . . . + Nn Pp

entsprechen, ergibt sich aus Satz 6 des § 4 (I Seite 48). Die Funk-
tionen (ox) A,-, (a2) Ap..., (oz)®a Az bleiben bei den Transmutationen
von Np1 <^>aNi ungeändert. Da 31 Normalisator von ist, also 31
die Gruppe zur invarianten Untergruppe besitzt, hat man
Np1 Ni = <5a. Jede der Funktionen (a1)®aA{, (o^nNf, ...,
Ni ist mithin (vgl. Satz 4 des § 3, I Seite 24) eine rationale
Funktion der voraussetzungsgemäß zu der Gruppe zugehörigen
Größen ov o2, . . ., oz. Hiermit ist die Existenz des Gleichungssystems
(4) erwiesen und gezeigt, daß N das automorphe Untersystem Aa:
°i °2 • •• °i b i o j?')
Gi) V Nt (o2) £„ Ni ... (o,) ®„ A’J ~ b 4 ■ ■,

enthält, das der ersten Zeile von (3) entspricht. Sind Ai und Az,
zwei Transmutationen aus 31, so ist das Produkt der ihnen zugeord-
neten Transmutationen aus Na, nämlich
/ ox o2 • • • c>z b
y(ai) Ni (a2) Ni ... (oz) Ayj
o2 ... b
C(ax) S« Az. (u2) Nk ... (oz) NkJ
— ( °1 °2 • • °l V
V(aj) <Sa Ni (o2) ^>aNi ... (oz) Aj
Ni (o2) ... (oz) Ni b
• k(öl) Ni Nk (o2) Ni Nk... (oz) Nk )

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