DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0016
8
Alfred Lojswy;
_ f °1 °2 • ■ • G V
~ \ Yi) ©a O2) Sfl. N< Nk ... (oz) N, Nj
ersichtlich dem Produkt Sa JVy • A^. zugeordnet. Das automorphe
System Na ist daher der Quotientengruppe 91 | <5(( isomorph. Hiermit
sind alle wesentlichen Aussagen des Satzes 1 bewiesen.
Da Op o2, ..., ol nur rationale Funktionen der Dirigenten
on q2, ..., Qk des Körpers (P; gx, q2, . .., sind und ebenfalls
bloß automorphe Transmutationen der Größen £p q2, ..., ok bedeuten,
hat man im Gleichungssystem (4) ausschließlich Relationen zwischen
Op £*2’ • • • > Qk mit Koeffizienten aus P vor sich und kann hierauf jede
Transmutation Py (J = 1, 2, ..., p) aus dem Transmutationssystem <5
anwenden. Hierdurch erhält man:
Yl) S« N^ Py = Pp (OY Py, (o2) Py, . . ., (oz) Py)
ze. <Y2) N< Py = P2y (OO Py, (a2) Py, . . , YZ) Py),
(») _•
Yz) Sa Ni Py = Pzy ((Oj) Py, (a2) Py, . . (oz) Py),
(?’ = 1, 2, ..., n; / = 1, 2, ..., p), wobei P, = A\ = f^i^2''' j, also
\ 2i f?2 • • • Qk 7
die identische Transmutation 7:', von <5 bedeutet.
Wir behaupten: Ist Py eine automorphe Transmutation aus S,
befindet sich also Py in der maximalen automorphen Untergruppe
@a(»0 von und wird weiter vorausgesetzt, daß die unter (5) betrach-
teten Funktionen (ox) SajVyPy, (o2)Sa2^zPy, ..., (<Jz)<5ß AyPy im Körper
(P; ov g2, .. ., gelegen sind, so gehört Py dem Normalisator 91 von
an. Besteht nämlich für eine automorphe Transmutation Py von @
das Gleichungssystem
(6)
Yl) Sa Ni Py i Xi (op o2,
(o2) S« Ni Py = Y Qp o2, . . ., Oi),
Yz) &a Ni Py = ZZ (Op G2, . . G]),
wobei die z rationale Funktionen ihrer Argumente <jp o2, . .., oz mit
Koeffizienten aus P bedeuten, so kann man auf (6), da es sich um
Gleichungen zwischen £>v q2, . . ., oj. mit Koeffizienten aus P handelt,
die Transmutationen aus S anwenden; hierdurch ändert sich die
rechte Seite von (6) überhaupt nicht, da die Funktionen ov o2, . o&
bei ihren Wert beibehalten. Mithin hat man:
(uj) Ni Py = (Oi) Ni Py, (a2) Ni Py = (o2) My Py, . . .,
Yz) Sa Ni Py = ((JZ) ATy Py oder wegen (5):
Alfred Lojswy;
_ f °1 °2 • ■ • G V
~ \ Yi) ©a O2) Sfl. N< Nk ... (oz) N, Nj
ersichtlich dem Produkt Sa JVy • A^. zugeordnet. Das automorphe
System Na ist daher der Quotientengruppe 91 | <5(( isomorph. Hiermit
sind alle wesentlichen Aussagen des Satzes 1 bewiesen.
Da Op o2, ..., ol nur rationale Funktionen der Dirigenten
on q2, ..., Qk des Körpers (P; gx, q2, . .., sind und ebenfalls
bloß automorphe Transmutationen der Größen £p q2, ..., ok bedeuten,
hat man im Gleichungssystem (4) ausschließlich Relationen zwischen
Op £*2’ • • • > Qk mit Koeffizienten aus P vor sich und kann hierauf jede
Transmutation Py (J = 1, 2, ..., p) aus dem Transmutationssystem <5
anwenden. Hierdurch erhält man:
Yl) S« N^ Py = Pp (OY Py, (o2) Py, . . ., (oz) Py)
ze. <Y2) N< Py = P2y (OO Py, (a2) Py, . . , YZ) Py),
(») _•
Yz) Sa Ni Py = Pzy ((Oj) Py, (a2) Py, . . (oz) Py),
(?’ = 1, 2, ..., n; / = 1, 2, ..., p), wobei P, = A\ = f^i^2''' j, also
\ 2i f?2 • • • Qk 7
die identische Transmutation 7:', von <5 bedeutet.
Wir behaupten: Ist Py eine automorphe Transmutation aus S,
befindet sich also Py in der maximalen automorphen Untergruppe
@a(»0 von und wird weiter vorausgesetzt, daß die unter (5) betrach-
teten Funktionen (ox) SajVyPy, (o2)Sa2^zPy, ..., (<Jz)<5ß AyPy im Körper
(P; ov g2, .. ., gelegen sind, so gehört Py dem Normalisator 91 von
an. Besteht nämlich für eine automorphe Transmutation Py von @
das Gleichungssystem
(6)
Yl) Sa Ni Py i Xi (op o2,
(o2) S« Ni Py = Y Qp o2, . . ., Oi),
Yz) &a Ni Py = ZZ (Op G2, . . G]),
wobei die z rationale Funktionen ihrer Argumente <jp o2, . .., oz mit
Koeffizienten aus P bedeuten, so kann man auf (6), da es sich um
Gleichungen zwischen £>v q2, . . ., oj. mit Koeffizienten aus P handelt,
die Transmutationen aus S anwenden; hierdurch ändert sich die
rechte Seite von (6) überhaupt nicht, da die Funktionen ov o2, . o&
bei ihren Wert beibehalten. Mithin hat man:
(uj) Ni Py = (Oi) Ni Py, (a2) Ni Py = (o2) My Py, . . .,
Yz) Sa Ni Py = ((JZ) ATy Py oder wegen (5):