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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0018
10
Alfred Loewy:
(Ä) S„ Ni P, (£)' ®„ Ni P,'(a') S„ Ni P-)
eine automorphe Transmutation der Dirigenten ov o2, .. o/
des Körpers (P; op o2, ..., t>z), so sind E und isomorph.
Der im letzten Satz besprochene Fall tritt im besondern ein, wenn
die identische Transmutation E1 — p1 ) wird. Adjungiert
\4?1t?2 •••Qk/
man a1? o2, ..., oz zu dem Körper P, so reduziert sich alsdann das
Transmutationssystem S der Dirigenten q2, ..Qk auf diejenigen
seiner Transmutationen, die alle Funktionen gv g2, ..ot nicht ändern
(Satz 4 des § 3, I Seite 24), also bei unserer Voraussetzung auf Ev
Da Ev die identische Transmutation ist, gehören demnach auch die
Größen pv q2, • • Qk dem Körper (P; gv g2, . . g^ an, und man hat
Gleichungen
Qk = ^h (pv g2, ..Gt) (h = 1, 2, . . ., 7c),
wobei die auf der rechten Seite stehenden Größen rationale Funktionen
ihrer Argumente bedeuten. Wendet man auf das letzte Gleichungs-
system die Transmutation N„- P, an, die p1 " 2 ‘ ‘ ) lauten möge,
so erhalt man
(9) Qhj = Ph (Oi) (o2) Py • ■ •; (öz) Ni Py) = 1? 2, ..., Ä).
Werden nunmehr (oj) A7,-Py, (o2) A^ Py, ..., (uz) A7) Py als Funktionen
des Körpers (P; <?2, ..., oz) vorausgesetzt, so sind sie wegen der
Zugehörigkeit von ov g2, . .., oz zum Körper (P; qv q2, ..auch
solche des letzten Körpers. Alsdann liegen wegen der Gleichungen (9)
die Größen Qhj (h = 1, 2, . . ., 7c) ebenfalls im Körper (P; q2, ..., Qk),
das heißt A7)-Py ist eine automorphe Transmutation aus <5. Mithin
folgt aus Satz 1 a der
Satz 2. Ist <5 das Transmutationssystem der Dirigenten
op q2, .. ., Qk des Körpers (P; q2, ..., ok) und wählt man statt
£>2, @2,. ...@Zi. irgendein an dres Funktion en System gv g2, ..ol;
das denselben Körper (P; Qv q2, . • Qk) erzeugt1), so ist das
’) Anders ausgedrückt: Oi,o2,..., oz soll ein zu Ei zugehöriges Funktionen-
system sein. Alsdann kann man statt einer endlichen Anzahl oi, u2, ..., oz
rationaler Funktionen von f?i, {>2,. •auch die Gesamtheit aller im Körper
(P; Qi, Q‘>,. . Qk) befindlichen rationalen Funktionen von £>1, Q2,..., Qk mit Koeffi-
zienten aus P als zu Ei zugehöriges System verwenden. Die Behandlung dieser
unendlichen Funktionenmenge ist der Ausgangspunkt von R. Dedekind in den
Supplementen zu P. G. Lejeune Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie,
4. Auflage, Braunschweig 1894, S. 456ff. bei seinem Studium der Abbildungen
Alfred Loewy:
(Ä) S„ Ni P, (£)' ®„ Ni P,'(a') S„ Ni P-)
eine automorphe Transmutation der Dirigenten ov o2, .. o/
des Körpers (P; op o2, ..., t>z), so sind E und isomorph.
Der im letzten Satz besprochene Fall tritt im besondern ein, wenn
die identische Transmutation E1 — p1 ) wird. Adjungiert
\4?1t?2 •••Qk/
man a1? o2, ..., oz zu dem Körper P, so reduziert sich alsdann das
Transmutationssystem S der Dirigenten q2, ..Qk auf diejenigen
seiner Transmutationen, die alle Funktionen gv g2, ..ot nicht ändern
(Satz 4 des § 3, I Seite 24), also bei unserer Voraussetzung auf Ev
Da Ev die identische Transmutation ist, gehören demnach auch die
Größen pv q2, • • Qk dem Körper (P; gv g2, . . g^ an, und man hat
Gleichungen
Qk = ^h (pv g2, ..Gt) (h = 1, 2, . . ., 7c),
wobei die auf der rechten Seite stehenden Größen rationale Funktionen
ihrer Argumente bedeuten. Wendet man auf das letzte Gleichungs-
system die Transmutation N„- P, an, die p1 " 2 ‘ ‘ ) lauten möge,
so erhalt man
(9) Qhj = Ph (Oi) (o2) Py • ■ •; (öz) Ni Py) = 1? 2, ..., Ä).
Werden nunmehr (oj) A7,-Py, (o2) A^ Py, ..., (uz) A7) Py als Funktionen
des Körpers (P; <?2, ..., oz) vorausgesetzt, so sind sie wegen der
Zugehörigkeit von ov g2, . .., oz zum Körper (P; qv q2, ..auch
solche des letzten Körpers. Alsdann liegen wegen der Gleichungen (9)
die Größen Qhj (h = 1, 2, . . ., 7c) ebenfalls im Körper (P; q2, ..., Qk),
das heißt A7)-Py ist eine automorphe Transmutation aus <5. Mithin
folgt aus Satz 1 a der
Satz 2. Ist <5 das Transmutationssystem der Dirigenten
op q2, .. ., Qk des Körpers (P; q2, ..., ok) und wählt man statt
£>2, @2,. ...@Zi. irgendein an dres Funktion en System gv g2, ..ol;
das denselben Körper (P; Qv q2, . • Qk) erzeugt1), so ist das
’) Anders ausgedrückt: Oi,o2,..., oz soll ein zu Ei zugehöriges Funktionen-
system sein. Alsdann kann man statt einer endlichen Anzahl oi, u2, ..., oz
rationaler Funktionen von f?i, {>2,. •auch die Gesamtheit aller im Körper
(P; Qi, Q‘>,. . Qk) befindlichen rationalen Funktionen von £>1, Q2,..., Qk mit Koeffi-
zienten aus P als zu Ei zugehöriges System verwenden. Die Behandlung dieser
unendlichen Funktionenmenge ist der Ausgangspunkt von R. Dedekind in den
Supplementen zu P. G. Lejeune Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie,
4. Auflage, Braunschweig 1894, S. 456ff. bei seinem Studium der Abbildungen