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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0023
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 15
destens eine von ihnen bei jeder S« nicht angehörigen
Transmutation von <5 einen anderen Wert annimmt. Bei
einem ÖALOisschen Körper gehört also nicht nur wie bei jedem Körper
zu jeder automorphen Untergruppe ein System rationaler Funktionen
ux fei; J?2’ • • Qk)> ^2 fei’ i?2> ’ • • •’ Qk)’ • • °i (.(Uv t?2’ • • •> Qk)> sondern auch
umgekehrt definiert hier jedes beliebige System rationaler Funktionen
ax fei, Q» ■ ■ Qk\ (qv q2, ..., g/.), ..fex, q2, ..@fc) eine z ugehörige
automorphe Untergruppe Sß.
Für den GALOisschen Körper folgt weiter aus dem Satz 1 a des
§ 5, da es bei dem GALOisschen Körper keine Transmutationen gibt,
die nicht angehören, der
Satz 3. Ist (P; q2, ..ein GALOisscher Körper und
bedeuten ox fex, q2, . . gfcj, o2 fex, q2, ..., ..., g1 (qv q2, . . Qk)
rationale Funktion en von ox, g2, ..., ok mit Koeffizienten
aus P, die bei der automorphen Untergruppe des Trans-
mutationssystems S der Dirigenten (Xl, q2, ■ ■ihren Wert
nicht ändern, so ist das Transmutationssystem 2/ der
Dirigenten ox, o2, ..., des Körpers (P; ox, o2, . . g^ isomorph
ZU
Definition. Unter dem GALOisschen Oberkörper eines
Körpers (P; @x, g2, .. Qk) soll der kleinste aus P entstehende
Körper verstanden werden, der unter seinen Dirigenten die
Größen @x, g2, ..ok enthält und nur automorphe Trans-
mutationen zuläßt.
Hat man irgendeinen Körper (P; gx, @2, • • •, Qk)’ so S^t es in dem
Transmutationssystem S der Dirigenten £>x, @2, . . ., ok Transmutationen,
die ox in jede Wurzel der irreduziblen Gleichung Xxfe) = 0 mit Ko-
effizienten aus P überführen, die durch or befriedigt wird. Aus der
Gleichberechtigung von o2, qs, ..., ok mit o, ergibt sich, daß es unter
den Transmutationen von <5 solche gibt, die q2 in alle Wurzeln der
durch g2 befriedigten, irreduziblen Gleichung X^2)(x)==0 mit Koeffi-
zienten aus P überführen usw.
Schließlich enthält <5 Transmutationen, die ok in jede Wurzel der
irreduziblen Gleichung mit Koeffizienten aus P überführen, die durch
ok befriedigt wird und die wir mit X^ (x} = 0 bezeichnen. Hieraus
folgt: In einem aus P hervorgehenden Körper, der unter seinen Diri-
genten die Größen qv . ., ok enthält und nur automorphe, d. h. im
Erweiterungskörper von P sich vollziehende Transmutationen besitzen
soll, müssen notwendig alle Wurzeln der k in P irreduziblen Gleichungen
Xx (x) — 0, Xx(2)(x) = 0. ..., XxG)(a;) = 0 gelegen sein, die durch ox, o2,..., ok
destens eine von ihnen bei jeder S« nicht angehörigen
Transmutation von <5 einen anderen Wert annimmt. Bei
einem ÖALOisschen Körper gehört also nicht nur wie bei jedem Körper
zu jeder automorphen Untergruppe ein System rationaler Funktionen
ux fei; J?2’ • • Qk)> ^2 fei’ i?2> ’ • • •’ Qk)’ • • °i (.(Uv t?2’ • • •> Qk)> sondern auch
umgekehrt definiert hier jedes beliebige System rationaler Funktionen
ax fei, Q» ■ ■ Qk\ (qv q2, ..., g/.), ..fex, q2, ..@fc) eine z ugehörige
automorphe Untergruppe Sß.
Für den GALOisschen Körper folgt weiter aus dem Satz 1 a des
§ 5, da es bei dem GALOisschen Körper keine Transmutationen gibt,
die nicht angehören, der
Satz 3. Ist (P; q2, ..ein GALOisscher Körper und
bedeuten ox fex, q2, . . gfcj, o2 fex, q2, ..., ..., g1 (qv q2, . . Qk)
rationale Funktion en von ox, g2, ..., ok mit Koeffizienten
aus P, die bei der automorphen Untergruppe des Trans-
mutationssystems S der Dirigenten (Xl, q2, ■ ■ihren Wert
nicht ändern, so ist das Transmutationssystem 2/ der
Dirigenten ox, o2, ..., des Körpers (P; ox, o2, . . g^ isomorph
ZU
Definition. Unter dem GALOisschen Oberkörper eines
Körpers (P; @x, g2, .. Qk) soll der kleinste aus P entstehende
Körper verstanden werden, der unter seinen Dirigenten die
Größen @x, g2, ..ok enthält und nur automorphe Trans-
mutationen zuläßt.
Hat man irgendeinen Körper (P; gx, @2, • • •, Qk)’ so S^t es in dem
Transmutationssystem S der Dirigenten £>x, @2, . . ., ok Transmutationen,
die ox in jede Wurzel der irreduziblen Gleichung Xxfe) = 0 mit Ko-
effizienten aus P überführen, die durch or befriedigt wird. Aus der
Gleichberechtigung von o2, qs, ..., ok mit o, ergibt sich, daß es unter
den Transmutationen von <5 solche gibt, die q2 in alle Wurzeln der
durch g2 befriedigten, irreduziblen Gleichung X^2)(x)==0 mit Koeffi-
zienten aus P überführen usw.
Schließlich enthält <5 Transmutationen, die ok in jede Wurzel der
irreduziblen Gleichung mit Koeffizienten aus P überführen, die durch
ok befriedigt wird und die wir mit X^ (x} = 0 bezeichnen. Hieraus
folgt: In einem aus P hervorgehenden Körper, der unter seinen Diri-
genten die Größen qv . ., ok enthält und nur automorphe, d. h. im
Erweiterungskörper von P sich vollziehende Transmutationen besitzen
soll, müssen notwendig alle Wurzeln der k in P irreduziblen Gleichungen
Xx (x) — 0, Xx(2)(x) = 0. ..., XxG)(a;) = 0 gelegen sein, die durch ox, o2,..., ok