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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0024
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Alfred Loewy: .
befriedigt werden. Man hat demnach die übliche Definition des Galois-
schen Oberkörpers eines Körpers (P; px, p2, • • Qk)' Der GALOissche
Oberkörper $ des Körpers (P; qv q2, ..pfc) ist derjenige aus
P he r vorgehen de kleinste K ör p er, in dem sich alle Wurzeln
der Gleichung K(x) = 0 befinden; hierbei bedeutet K(x) das
kleinste gemeinsame Vielfache der ganzen Funktionen
X^x), X^(x), und es sind X/.z)-!), X^x) = 0,
X1(3)(«) = 0, .. (x) = 0 die irreduziblen Gleichungen mit
Koeffizienten aus P, die der Reihe nach durch die Größen
p1? p2, . q1: befriedigt werden.
Da sich im GaloisscIicu Oberkörper von (P; pp p2,..pÄ) alle Trans-
mutationen der Dirigenten p1? q2, . . ., Qk vollziehen, kann man nach dem
Satz 7 des § 4 (IS. 50) den GALoisschen Oberkörper von (P; p2,..., pfc)
auch so definieren: Der GALOissche Oberkörper eines Körpers
(P; pi, p2, .. ., pfc) wird erzeugt durch eine primitive Funktion
°e (Pi’ t?2> •' Qk) 0 er Größen Qv Qk iR Gemeinschaft mit
den anderen Wurzeln der irreduziblen Gleichung mit Ko-
effizienten aus P, die durch oe befriedigt wird. Von diesen
Gleichungswurzeln (vgl. die ergänzende Bemerkung oben
auf S. 13 zu Satz 3 des § 5) sind zur Erzeugung des Galois-
£
sehen Oberkörpers nur nicht durch einander rational
1 n
aus drückbare ausreichend; dabei ist s die Anzahl der
Transmutationen S der Dirigenten pp p2, . . pz. des Körpers
(P; Qv Q2: • - Qk) und w die in der maximalen automorphen
Untergruppe von ® befindlichen.
Hieraus folgt als charakteristisches Kennzeichen für den
GALoisschen Körper (w = s), daß seine primitiven Funk-
tionen GALoisschen Gleichungen genügen.
Nach § 2 ist das Transmutationssystem aller Wurzeln einer
Gleichung die GALOissche Gruppe der Gleichung. Da man den GALois-
schen Oberkörper $ von dem Körper (P; Pp p2, • • •> p*) au°h durch
Adjunktion aller Wurzeln der irreduziblen Gleichung mit Koeffizienten
aus P erzeugen kann, die durch eine primitive Funktion oe (plt p2,..pA)
befriedigt wird, und weiter nach Satz 2 des § 5 die Transmutations-
systeme aller möglichen einen Körper erzeugenden Dirigenten isomorph
sind, ergibt sich für den Körper ß der
Satz 4. Ä sei der GALOissche Oberkörper des Körpers
(P; pp p2, ..., pfc) der Dirigenten pp p2, ..., Weiter sei 21? 22,..,,
irgendein System erzeugender Größen für den Körper St,
und bedeute das Transmutationssystem der Diri-
Alfred Loewy: .
befriedigt werden. Man hat demnach die übliche Definition des Galois-
schen Oberkörpers eines Körpers (P; px, p2, • • Qk)' Der GALOissche
Oberkörper $ des Körpers (P; qv q2, ..pfc) ist derjenige aus
P he r vorgehen de kleinste K ör p er, in dem sich alle Wurzeln
der Gleichung K(x) = 0 befinden; hierbei bedeutet K(x) das
kleinste gemeinsame Vielfache der ganzen Funktionen
X^x), X^(x), und es sind X/.z)-!), X^x) = 0,
X1(3)(«) = 0, .. (x) = 0 die irreduziblen Gleichungen mit
Koeffizienten aus P, die der Reihe nach durch die Größen
p1? p2, . q1: befriedigt werden.
Da sich im GaloisscIicu Oberkörper von (P; pp p2,..pÄ) alle Trans-
mutationen der Dirigenten p1? q2, . . ., Qk vollziehen, kann man nach dem
Satz 7 des § 4 (IS. 50) den GALoisschen Oberkörper von (P; p2,..., pfc)
auch so definieren: Der GALOissche Oberkörper eines Körpers
(P; pi, p2, .. ., pfc) wird erzeugt durch eine primitive Funktion
°e (Pi’ t?2> •' Qk) 0 er Größen Qv Qk iR Gemeinschaft mit
den anderen Wurzeln der irreduziblen Gleichung mit Ko-
effizienten aus P, die durch oe befriedigt wird. Von diesen
Gleichungswurzeln (vgl. die ergänzende Bemerkung oben
auf S. 13 zu Satz 3 des § 5) sind zur Erzeugung des Galois-
£
sehen Oberkörpers nur nicht durch einander rational
1 n
aus drückbare ausreichend; dabei ist s die Anzahl der
Transmutationen S der Dirigenten pp p2, . . pz. des Körpers
(P; Qv Q2: • - Qk) und w die in der maximalen automorphen
Untergruppe von ® befindlichen.
Hieraus folgt als charakteristisches Kennzeichen für den
GALoisschen Körper (w = s), daß seine primitiven Funk-
tionen GALoisschen Gleichungen genügen.
Nach § 2 ist das Transmutationssystem aller Wurzeln einer
Gleichung die GALOissche Gruppe der Gleichung. Da man den GALois-
schen Oberkörper $ von dem Körper (P; Pp p2, • • •> p*) au°h durch
Adjunktion aller Wurzeln der irreduziblen Gleichung mit Koeffizienten
aus P erzeugen kann, die durch eine primitive Funktion oe (plt p2,..pA)
befriedigt wird, und weiter nach Satz 2 des § 5 die Transmutations-
systeme aller möglichen einen Körper erzeugenden Dirigenten isomorph
sind, ergibt sich für den Körper ß der
Satz 4. Ä sei der GALOissche Oberkörper des Körpers
(P; pp p2, ..., pfc) der Dirigenten pp p2, ..., Weiter sei 21? 22,..,,
irgendein System erzeugender Größen für den Körper St,
und bedeute das Transmutationssystem der Diri-