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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0025
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 17
genten zx, 22, 2.t des mit $ übereinstimmenden Körpers
(P; zx, z2, • • •> 4). Dann ist 5p, weil ß ein GALOisscher Körper
ist, eine Gruppe und isomorph mit dem Transmutations-
system eines jeden den Körper Ä erzeugenden Systems
von Dirigenten; im besondern ist 5p isomorph mit der
GAlois s chen Gruppe jeder in P i r.r e d u z i b 1 e n Gleichung,
die irgendeine primitive Funktion oe des Körpers
(P; p2, . . Qk) zur Wurzel hat.
Wird der GALOissche Oberkörper des Körpers (P; px, p2,..., gÄ.)
durch Adjunktion der Größen 2X. 22,..., aus P erzeugt, so sind
ox, q2, ..Qk als im Körper $ gelegene Größen rationale Funktionen
von 2X, Z2,..., mit Koeffizienten aus P. Da der Körper (P; /x, Z2,. .., 2Z),
das heißt der Körper ein GALOisscher Körper ist, läßt sich auf M
der Satz 3 dieses Paragraphen anwenden, und man erhält den
wichtigen
Satz 5. Ist® das Transmutationssystem der Dirigenten
2i, p2’• • u des Körpers (P; o3, p2, • • •, Qjc) und bedeutet ferner
5p das Transmutationssystem irgendwelcher Dirigenten
Zx, 22,..die den GALOisschen Oberkörper $=(P; 2X, Ä2,...,/ß)
von (P; Qx, erzeugen, so ist S isomorph zu der
Quotientenmischgruppe 5p ^Ppxp2. .. pz. ||i dabei ist 5p^2... Qk
diejenige Untergruppe von 5p, bei der jede der rationalen
Funktionen ox, p2, .. ., Oj. von Zx, Z2, ..., einzeln ungeändert
bleibt.
Der Satz 5 beweist die Möglichkeit der isomorphen Darstellbarkeit
eines Transmutationssystems <5 durch eine Gruppe 5P und eine ihrer
Untergruppen 5PO1Oq . g so daß ® isomorph ist zu den Komplexen
... ^exp2... 2z;P2’ $exe2... $k p3> ■ • ^oxp2... ez.ps,
die sich bei der Galois sehen Zerlegung der Gruppe 5p nach ihrer Unter-
gruppe 5P21£2 "'Qk ergeben.
§ 7.
Die P-Transmutationssysteme, insbesondere die imprimitiven Systeme.
Imprimitive Gleichungen und imprimitive Körper.
(1)
«i®, ..., u/ö,
ax, a2, ..alf
a^\ a^\..., az<2>,
seien t Systeme von je 1 Größen, die sämtlich voneinander verschieden
sind. G) bedeute eine transitive Permutationsgruppe der Größen
genten zx, 22, 2.t des mit $ übereinstimmenden Körpers
(P; zx, z2, • • •> 4). Dann ist 5p, weil ß ein GALOisscher Körper
ist, eine Gruppe und isomorph mit dem Transmutations-
system eines jeden den Körper Ä erzeugenden Systems
von Dirigenten; im besondern ist 5p isomorph mit der
GAlois s chen Gruppe jeder in P i r.r e d u z i b 1 e n Gleichung,
die irgendeine primitive Funktion oe des Körpers
(P; p2, . . Qk) zur Wurzel hat.
Wird der GALOissche Oberkörper des Körpers (P; px, p2,..., gÄ.)
durch Adjunktion der Größen 2X. 22,..., aus P erzeugt, so sind
ox, q2, ..Qk als im Körper $ gelegene Größen rationale Funktionen
von 2X, Z2,..., mit Koeffizienten aus P. Da der Körper (P; /x, Z2,. .., 2Z),
das heißt der Körper ein GALOisscher Körper ist, läßt sich auf M
der Satz 3 dieses Paragraphen anwenden, und man erhält den
wichtigen
Satz 5. Ist® das Transmutationssystem der Dirigenten
2i, p2’• • u des Körpers (P; o3, p2, • • •, Qjc) und bedeutet ferner
5p das Transmutationssystem irgendwelcher Dirigenten
Zx, 22,..die den GALOisschen Oberkörper $=(P; 2X, Ä2,...,/ß)
von (P; Qx, erzeugen, so ist S isomorph zu der
Quotientenmischgruppe 5p ^Ppxp2. .. pz. ||i dabei ist 5p^2... Qk
diejenige Untergruppe von 5p, bei der jede der rationalen
Funktionen ox, p2, .. ., Oj. von Zx, Z2, ..., einzeln ungeändert
bleibt.
Der Satz 5 beweist die Möglichkeit der isomorphen Darstellbarkeit
eines Transmutationssystems <5 durch eine Gruppe 5P und eine ihrer
Untergruppen 5PO1Oq . g so daß ® isomorph ist zu den Komplexen
... ^exp2... 2z;P2’ $exe2... $k p3> ■ • ^oxp2... ez.ps,
die sich bei der Galois sehen Zerlegung der Gruppe 5p nach ihrer Unter-
gruppe 5P21£2 "'Qk ergeben.
§ 7.
Die P-Transmutationssysteme, insbesondere die imprimitiven Systeme.
Imprimitive Gleichungen und imprimitive Körper.
(1)
«i®, ..., u/ö,
ax, a2, ..alf
a^\ a^\..., az<2>,
seien t Systeme von je 1 Größen, die sämtlich voneinander verschieden
sind. G) bedeute eine transitive Permutationsgruppe der Größen