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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0026
18
Alfred Loewy:
et,, a9, ..co. Die Permutationen von G- lauten 1 2 • • • z
12 v % • • • T’z
bei , a^, ..ct^ bis auf die Reihenfolge mit alf a2, .at überein-
stimmen und (S> entsprechend dem transitiven Charakter der Permu-
tationsgruppe ® unter’ seinen Permutationen l enthält; die in ax
beziehungsweise in ct2, ct3, ..., az überführen. Weiter sei
eine Transmutation von av a2, ..., az in a/ü, ap\ ..
man das System
2’=@ + ®7Z2 + @IZ3 . . [ @7//
Dann bilde
Das System 2 mit den beschriebenen Eigenschaften soll ein P-Trans-
mutationssystem der Dirigenten av a2, at heißen. Das Wesent-
liche der P-Transmutationssysteme ist, daß sie t transitive Permutations-
gruppen, nämlich ® mit den Permutationen
/(/(’) (ZrD # GlP
mit den Permutationen I „ (n „ ' n (i
nur in anderen, aber stets verschiedenen Symbolen geschrieben sind.
) (z = 2, 3, ..., t) liefern, die
Als imprimitive P-Transmutationssysteme oder kurz
imprimitive Transmutationssysteme definieren wir solche, bei
denen 1 < l < tl, das heißt solche P-Transmutationssysteme, die eine
von der identischen Permutation verschiedene transitive Permutations-
gruppe ® enthalten und hierdurch nicht erschöpft werden. Diese
imprimitiven Transmutationssysteme charakterisieren die im primi-
tiven Gleichungen und weiter die imprimitiven Körper.
Wir geben folgende Definition der imprimitiven Gleichungen: Eine
Gleichung = 0 vom Grade n mit Koeffizienten aus
P heißt imprimitiv, wenn sie in P irreduzibel ist und
durch Adjunktion aller Wurzeln $j, &2, ..’&t einer in P
irreduziblen Gleichung cp(x) — 0 vom Grade t, wobei l<Z<?z
ist, in das Produkt
(2) /■(«) = cf-^x; f^x- . . f^x; ft)
zerfällt, wobei c eine P angehörige Konstante und fr{x-, 0\)
eine ganze Funktion von x mit Koeffizienten aus dem
Körper (P; bedeutet.
Wegen der Irreduzibilität von f(x) = 0 kann für keine Wurzel a
von /’(zc) = O gleichzeitig (a; = 0 und (a; #&) = 0 sein, wobei
d'i und zwei verschiedene der Wurzeln von qpx') = 0 bedeuten. Aus
dem gleichzeitigen Bestehen der Gleichungen /^(a; ^) = 0 und (a; =0
Alfred Loewy:
et,, a9, ..co. Die Permutationen von G- lauten 1 2 • • • z
12 v % • • • T’z
bei , a^, ..ct^ bis auf die Reihenfolge mit alf a2, .at überein-
stimmen und (S> entsprechend dem transitiven Charakter der Permu-
tationsgruppe ® unter’ seinen Permutationen l enthält; die in ax
beziehungsweise in ct2, ct3, ..., az überführen. Weiter sei
eine Transmutation von av a2, ..., az in a/ü, ap\ ..
man das System
2’=@ + ®7Z2 + @IZ3 . . [ @7//
Dann bilde
Das System 2 mit den beschriebenen Eigenschaften soll ein P-Trans-
mutationssystem der Dirigenten av a2, at heißen. Das Wesent-
liche der P-Transmutationssysteme ist, daß sie t transitive Permutations-
gruppen, nämlich ® mit den Permutationen
/(/(’) (ZrD # GlP
mit den Permutationen I „ (n „ ' n (i
nur in anderen, aber stets verschiedenen Symbolen geschrieben sind.
) (z = 2, 3, ..., t) liefern, die
Als imprimitive P-Transmutationssysteme oder kurz
imprimitive Transmutationssysteme definieren wir solche, bei
denen 1 < l < tl, das heißt solche P-Transmutationssysteme, die eine
von der identischen Permutation verschiedene transitive Permutations-
gruppe ® enthalten und hierdurch nicht erschöpft werden. Diese
imprimitiven Transmutationssysteme charakterisieren die im primi-
tiven Gleichungen und weiter die imprimitiven Körper.
Wir geben folgende Definition der imprimitiven Gleichungen: Eine
Gleichung = 0 vom Grade n mit Koeffizienten aus
P heißt imprimitiv, wenn sie in P irreduzibel ist und
durch Adjunktion aller Wurzeln $j, &2, ..’&t einer in P
irreduziblen Gleichung cp(x) — 0 vom Grade t, wobei l<Z<?z
ist, in das Produkt
(2) /■(«) = cf-^x; f^x- . . f^x; ft)
zerfällt, wobei c eine P angehörige Konstante und fr{x-, 0\)
eine ganze Funktion von x mit Koeffizienten aus dem
Körper (P; bedeutet.
Wegen der Irreduzibilität von f(x) = 0 kann für keine Wurzel a
von /’(zc) = O gleichzeitig (a; = 0 und (a; #&) = 0 sein, wobei
d'i und zwei verschiedene der Wurzeln von qpx') = 0 bedeuten. Aus
dem gleichzeitigen Bestehen der Gleichungen /^(a; ^) = 0 und (a; =0