Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 19

würde nämlich im Widerspruch zu der vorausgesetzten Irreduzibilität
von f (x) = 0 aus der Zerlegung (2) folgen, daß a mindestens zweifache
Wurzel von /* (a?) = 0 ist. Durch die Zerlegung (2) zerfallen demnach
die n Wurzeln von /"(.«)= 0 in t Systeme:

(1)

a/1), a2W,
«Iy), «2(°> • • •>

so daß ot/ü, a2('\ .. tJ ay) die Wurzeln von f^x-, ■#,•) = () bedeuten; dabei
hat/j^; ’&i) wegen der Zerlegung (2) den Grad Z = Da/’j(a1(Z);^i) = 0
1/
ist, hat die Gleichung x~) = Q die Wurzel 7h(-, und ferner besitzt
sie mit = 0 außer keine gemeinsame Wurzel, weil, wie schon
oben hervorgehoben, sonst /’(rr) = O als Folge der Zerlegung (2) die
Größe zur mindestens zweifachen Wurzel hätte. Mithin ist der
größte gemeinsame Teiler von (p(B) und f1(a1^;x') die Linearfunktion
x—'&i. Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Funktionen läßt
sich aber mit Hilfe des Euclidischen Algorithmus rational finden; daher
besitzt^ einen Wert aus dem Körper der Koeffizienten von <p(x) und
rr). Es existiert demnach eine rationale Funktion R(a^) mit
Koeffizienten aus P, so daß = (i = 1, 2, ..t) wird. Ebenso
wie a/ü haben auch die mit a/ü in der gleichen Zeile stehenden Größen
a2(ü, a3(i)> • • •> aiii} nach ihrer Wahl die Eigenschaft, daß #i) -
/i(a3(ü; = 0, ..., ’&i) = 0 (i= 1,2, ..., 2) ist. Folglich hat man :
= R(a^') = R(a2(,)) = ... = R(a^) (« =1,2,..., /).
Hiermit ist das Resultat gewonnen: Bedeutet f(a;) = O eine
mpriraitive Gleichung, so lassen sich die Gleichungs-
wurzeln von /’(r) = 0 nach dem Schema (1) einteilen, und
es existiert eine rationale Funktion R(x) mit Koeffi-
zienten aus P, so daß die t Wurze 1 n von <p(a?) = 0 lauten:
= R(a^) = R(a2&) = ...= R(a^),
= R^) = R(a^') = ... = R(a^,

’&t = R(a1(t'>') — RfaJ®) = ... = R(at<W).
(KKn; lt— n.)
Dies besagt: Ist f(x') = Q im primitiv, so besitzt f(x) in
der Gleichung (p^x) — 0 eine Tschirnhausenresolvente
niedrigeren Grades.1)
’) Es handelt sich hier im folgenden um eine Anwendung des Reziprozi-
tätssatzes aus meinem Aufsatz über die Reduktion algebraischer Gleichungen