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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0028
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Alfred Löewy
Es gilt aber auch umgekehrt: Besitzt eine irreduzible
Gleichung = ® vom Grade n eine Tschirn haus en-
resolvente niedrigeren als w-ten Grades, das heißt existiert
eine rationale Funktion P(zc) mit Koeffizienten aus P, ist
ferner 04 irgendeine Wurzel von = 0 und genügt P(aJ
einer irreduziblen Gleichung cp(x) = 0 vom Grade t < n, so
ist /’(#) = () eine im primitive Gleichung.
Seien av a2, ..an die n Wurzeln von f(x) = 0, so ist das Pro-
dukt (x—Ptjcq)) (zr—P(a2)) ... (#—P(aw)) als symmetrische Funktion
aller Gleichungswurzeln von f(P) — 0 im Körper P befindlich. Weiter
hat dieses Produkt mit der irreduziblen Funktion <p(p) die Nullstelle
Bta^ gemeinsam. Mithin ist das fragliche Produkt durch 92(a?) teilbar.
Da aber für die Gleichung 92(3?) = 0 aus ^(P(tz1)) = 0 wegen der
Trreduzibilität von f(x}=0 auch 92 (P(ct z)) = 0 (z — 2, 3, ..., n) folgt,
also <p(x") durch sämtliche Größen Bpj), B(a^, ..B(a^ befriedigt
wird, ergibt sich, wie unmittelbar ersichtlich, daß
(3) (x—(x—P^a^) ..Ax~lKan)) = c<p(x)1
werden muß, wobei c eine Konstante ist; da tp(P) voraussetzungsgemäß
von niedrigerem als w-ten Grade ist, muß Z > 1 sein. Versteht man
unter ot^1), a1(2), ..ct/9 solche t Wurzeln von /"(zc) = O, die alle t unter-
einander verschiedenen Wurzeln P P • • •, B,(a^) von <p(x)= 0
erschöpfen, so zerfallen infolge der Relation (3) die Wurzeln von /’(z») = 0
in t Svsteme von je l untereinander gleichen:
a2W, ..., a/11,
...,a/2',
«2(ö, . .., az^,
so daß P(a1ll)) = P(a2(z)) = ... = B(a^) (Z = 1, 2, ..., Z). Betrachtet man
die zwei Gleichungen /'(zcJ^O und P(aQ—P(a1(ö) = 0, so haben diese
wegen der letzten Z Relationen die Wurzeln a.^l\ ..., und wegen
der Verschiedenheit der t Wurzeln der irreduziblen Gleichung <p(P) = 0,
also P(a1(1)) == ==...== Pf«!®) auch nur die Z Wurzeln
gemeinsam. Der größte gemeinsame Teiler von f(x) und
durch Adjunktion insbesondere reeller Radikale, Math. Zeitschrift 15 (1922),
S. 262. , ■
In der Bezeichnung des Textes ist /’(zr) = c7i(zE; G) /i(zc; #2) ... fiG;'&),
= (x— #1) (x—&A ■ ■ ■ (x—dt), und der größte gemeinsame Teiler von (p(x)
und fippi); x) (i = 1, 2, . . ., t; h = 1, 2, . . ., Z) wird X—&i, also &i — RpPA-
Mithin ist <p(xy = ^zc—_K(«i t1))) (zc—P(a2.(1))) .... (x—R(o.y1'))) .... (a?—jR(aid))) . . . .
(zc—iR(az(0)), und es ist fi(x; ’&i) der größte gemeinsame Teiler von f(x) und
öi—Rfp); des weiteren P(«i(ö) = JR(a2(ö) = .. . — J?(az(0).
Alfred Löewy
Es gilt aber auch umgekehrt: Besitzt eine irreduzible
Gleichung = ® vom Grade n eine Tschirn haus en-
resolvente niedrigeren als w-ten Grades, das heißt existiert
eine rationale Funktion P(zc) mit Koeffizienten aus P, ist
ferner 04 irgendeine Wurzel von = 0 und genügt P(aJ
einer irreduziblen Gleichung cp(x) = 0 vom Grade t < n, so
ist /’(#) = () eine im primitive Gleichung.
Seien av a2, ..an die n Wurzeln von f(x) = 0, so ist das Pro-
dukt (x—Ptjcq)) (zr—P(a2)) ... (#—P(aw)) als symmetrische Funktion
aller Gleichungswurzeln von f(P) — 0 im Körper P befindlich. Weiter
hat dieses Produkt mit der irreduziblen Funktion <p(p) die Nullstelle
Bta^ gemeinsam. Mithin ist das fragliche Produkt durch 92(a?) teilbar.
Da aber für die Gleichung 92(3?) = 0 aus ^(P(tz1)) = 0 wegen der
Trreduzibilität von f(x}=0 auch 92 (P(ct z)) = 0 (z — 2, 3, ..., n) folgt,
also <p(x") durch sämtliche Größen Bpj), B(a^, ..B(a^ befriedigt
wird, ergibt sich, wie unmittelbar ersichtlich, daß
(3) (x—(x—P^a^) ..Ax~lKan)) = c<p(x)1
werden muß, wobei c eine Konstante ist; da tp(P) voraussetzungsgemäß
von niedrigerem als w-ten Grade ist, muß Z > 1 sein. Versteht man
unter ot^1), a1(2), ..ct/9 solche t Wurzeln von /"(zc) = O, die alle t unter-
einander verschiedenen Wurzeln P P • • •, B,(a^) von <p(x)= 0
erschöpfen, so zerfallen infolge der Relation (3) die Wurzeln von /’(z») = 0
in t Svsteme von je l untereinander gleichen:
a2W, ..., a/11,
...,a/2',
«2(ö, . .., az^,
so daß P(a1ll)) = P(a2(z)) = ... = B(a^) (Z = 1, 2, ..., Z). Betrachtet man
die zwei Gleichungen /'(zcJ^O und P(aQ—P(a1(ö) = 0, so haben diese
wegen der letzten Z Relationen die Wurzeln a.^l\ ..., und wegen
der Verschiedenheit der t Wurzeln der irreduziblen Gleichung <p(P) = 0,
also P(a1(1)) == ==...== Pf«!®) auch nur die Z Wurzeln
gemeinsam. Der größte gemeinsame Teiler von f(x) und
durch Adjunktion insbesondere reeller Radikale, Math. Zeitschrift 15 (1922),
S. 262. , ■
In der Bezeichnung des Textes ist /’(zr) = c7i(zE; G) /i(zc; #2) ... fiG;'&),
= (x— #1) (x—&A ■ ■ ■ (x—dt), und der größte gemeinsame Teiler von (p(x)
und fippi); x) (i = 1, 2, . . ., t; h = 1, 2, . . ., Z) wird X—&i, also &i — RpPA-
Mithin ist <p(xy = ^zc—_K(«i t1))) (zc—P(a2.(1))) .... (x—R(o.y1'))) .... (a?—jR(aid))) . . . .
(zc—iR(az(0)), und es ist fi(x; ’&i) der größte gemeinsame Teiler von f(x) und
öi—Rfp); des weiteren P(«i(ö) = JR(a2(ö) = .. . — J?(az(0).