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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0029
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 21
P(P)—P(a1t')) ist demnach (x—Der größte
gemeinsame Teiler von f(x) und P(a;)—P(a1(ü) läßt sich aber mittels
des Euclidischen Algorithmus auch rational bestimmen; er hat daher
Koeffizienten aus dem Körper der Koeffizienten von/'(«:) und P(ir)—B(a-^'^,
also aus dem Körper (P; B(a1^)'). Wir bezeichnen daher den größten
gemeinsamen Teiler von f (x) Bfä-B^a-^) fx{x; B>{a^)) und
erhalten fr{x-, B(a^}) = (x—a^) (x—a2(‘l) .. . (x—a^). Durch Multi-
plikation dieser für i= 1, 2, ..t bestehenden Gleichungen folgt, da
ci^d a2(t), ..., aj') (« = 1,2,..., f) sämtliche n = lt Wurzeln von f\x) = 0
erschöpfen, daß /’(«;) = c fx(x-, B(a^)) ■ fx(x‘, B(a^)) ... B(a^))
wird, wobei B^a^, B(a^), ..B^a^') sämtliche Wurzeln von (p(x) = 0
und c eine Konstante bedeuten. Hiermit ist gezeigt, daß f(P) imprimitiv
im Sinne unserer Definition ist.
Mithin hat man: Charakteristisch dafür, daß f(p) = ()
eine imprimitive Gleichung ist, erweist sich, daß f(x) = 0
mindestens eine Tschirnhausenres ol vente niedrigeren
Grades besitzt.1)
Nach dieser Charakterisierung der imprimitiven Gleichungen
wenden wir uns zu dem
Satz 1. Es seien ax, a2, ..., az irgendwelche algebraische
Größen, die Gleichungen mit Koeffizienten aus P genügen.
Ist das Tr a n s m u t a ti o n s s y s t e m der Dirigenten av a2,..., az des
Körpers (P; aÄ, a2,..., az) ein im pri mi ti ves P-Tr ansmutations-
system der zu Beginn dieses Paragraphen beschriebenen
Art, so sind ctp a2, ..., «/ die Wurzeln einer und derselben
imprimitiven Gleichung f(x~) = 0 mit Koeffizienten aus P,
deren weitere Wurzeln die Größen a^'\ a^'^i = 2^3,.. ,,t)
sind, in die sich ax, a2, ..., az tränsmutieren (t > 1).
Zunächst enthält das Transmutationssystem der Dirigenten
ax,a2, ...,az wegen seines imprimitiven Charakters die Permutations-
gruppe @. Da & automorphe Untergruppe des Transmutationssystems
ist, kann man nach Satz 3 des § 4 (I, S. 40) eine zu @ zugehörige
rationale Funktion $x (ax, a2, ..., az) der Größen av a2, aL mit
Koeffizienten aus P bilden; sie nehme bei den Transmutationen
0)77,- (7 = 2, 3, ..., /) die von dx verschiedenen Werte d2, • • •> an-
genügt dann nach Satz 1 des § 3 (I, S. 18) einer im Körper P
b Man kann dies auch so ausdrücken: Für eine imprimitive Gleichung
A-r) — 0 ist die Existenz zweier ganzer Funktionen cp(x) und 11 (sc)
mit Koeffizienten aus P charakteristisch, die beide von höherem
als erstem Grade sind und /(«) = 9? (iR (iß)) ergeben.
P(P)—P(a1t')) ist demnach (x—Der größte
gemeinsame Teiler von f(x) und P(a;)—P(a1(ü) läßt sich aber mittels
des Euclidischen Algorithmus auch rational bestimmen; er hat daher
Koeffizienten aus dem Körper der Koeffizienten von/'(«:) und P(ir)—B(a-^'^,
also aus dem Körper (P; B(a1^)'). Wir bezeichnen daher den größten
gemeinsamen Teiler von f (x) Bfä-B^a-^) fx{x; B>{a^)) und
erhalten fr{x-, B(a^}) = (x—a^) (x—a2(‘l) .. . (x—a^). Durch Multi-
plikation dieser für i= 1, 2, ..t bestehenden Gleichungen folgt, da
ci^d a2(t), ..., aj') (« = 1,2,..., f) sämtliche n = lt Wurzeln von f\x) = 0
erschöpfen, daß /’(«;) = c fx(x-, B(a^)) ■ fx(x‘, B(a^)) ... B(a^))
wird, wobei B^a^, B(a^), ..B^a^') sämtliche Wurzeln von (p(x) = 0
und c eine Konstante bedeuten. Hiermit ist gezeigt, daß f(P) imprimitiv
im Sinne unserer Definition ist.
Mithin hat man: Charakteristisch dafür, daß f(p) = ()
eine imprimitive Gleichung ist, erweist sich, daß f(x) = 0
mindestens eine Tschirnhausenres ol vente niedrigeren
Grades besitzt.1)
Nach dieser Charakterisierung der imprimitiven Gleichungen
wenden wir uns zu dem
Satz 1. Es seien ax, a2, ..., az irgendwelche algebraische
Größen, die Gleichungen mit Koeffizienten aus P genügen.
Ist das Tr a n s m u t a ti o n s s y s t e m der Dirigenten av a2,..., az des
Körpers (P; aÄ, a2,..., az) ein im pri mi ti ves P-Tr ansmutations-
system der zu Beginn dieses Paragraphen beschriebenen
Art, so sind ctp a2, ..., «/ die Wurzeln einer und derselben
imprimitiven Gleichung f(x~) = 0 mit Koeffizienten aus P,
deren weitere Wurzeln die Größen a^'\ a^'^i = 2^3,.. ,,t)
sind, in die sich ax, a2, ..., az tränsmutieren (t > 1).
Zunächst enthält das Transmutationssystem der Dirigenten
ax,a2, ...,az wegen seines imprimitiven Charakters die Permutations-
gruppe @. Da & automorphe Untergruppe des Transmutationssystems
ist, kann man nach Satz 3 des § 4 (I, S. 40) eine zu @ zugehörige
rationale Funktion $x (ax, a2, ..., az) der Größen av a2, aL mit
Koeffizienten aus P bilden; sie nehme bei den Transmutationen
0)77,- (7 = 2, 3, ..., /) die von dx verschiedenen Werte d2, • • •> an-
genügt dann nach Satz 1 des § 3 (I, S. 18) einer im Körper P
b Man kann dies auch so ausdrücken: Für eine imprimitive Gleichung
A-r) — 0 ist die Existenz zweier ganzer Funktionen cp(x) und 11 (sc)
mit Koeffizienten aus P charakteristisch, die beide von höherem
als erstem Grade sind und /(«) = 9? (iR (iß)) ergeben.