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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0030
22
Alfred Loewy:
irreduziblen Gleichung cp(x) = 0, die $2, #3,..., zu ihren weiteren
Wurzeln hat. Durch Adjunktion von dx zum Körper P reduziert sich
das Transmutationssystem der Dirigenten av a2, at nach dem
erweiterten Lagrange sehen Satz (I, S. 22) auf diejenigen Trans-
mutationen, die dx ungeändert lassen, d. h. auf @. Bildet man nun-
mehr (.r—aj ßr—a2) ... (#—az), so ändert sich dieser Ausdruck als
symmetrische Funktion von ax, a2, ..., rzz bei allen Transmutationen von
(S nicht; mithin gehört er dem Körper (P; dj an. Man kann also
setzen: (x—ax) (x—a2) . .. (#—az) = /j
Wendet man auf diese richtige Gleichung zwischen ot1? a2, . .., az
mit Koeffizienten aus P — auch $x ist ja rationale Funktion von
av a2, . .., az — die Transmutationen H; (i = 2, 3, ..., t) der Dirigenten
av ot2, .. ., aL an, so erhält man die weiteren richtigen Gleichungen:
(x—a^~) (#—a2(ö) ... (x—otz(l)) = /) (,a?; d'?;) (z = 2, 3, ... /)
und durch ihre Multiplikation:
(.£ —ct-j (a;—a2) ... (x—a^) ... (rc—a/ö) (x— a2(ö) ... (x— az(i))
=ACg A) fi^2) ■■■ fi^t)-
Die rechte Seite ist eine symmetrische Funktion von d1( d2, ...,
mithin durch die Koeffizienten von (p (x) — 0 darstellbar und kann
daher mit f(x) bezeichnet werden, wobei f(x") nur Koeffizienten aus
P enthält.
Nachdem die Zerlegbarkeit von f(x) dargetan ist, hat man zum
Nachweis der Imprimitivität von /(a?) nur noch zu zeigen, daß f(x)
in P irreduzibel ist. Sei etwa F(a?) der irreduzible Faktor von f(x),
der durch <zT befriedigt wird, also P(ax)==0. Da @ infolge seines
transitiven Charakters l Permutationen Pt, P2, ..., Pz enthält, die ar suk-
zessiv in ava2, überführen, folgt aus der Gleichung ^(«^ = 0 durch
Anwendung dieser Permutationen weiter K(ct2) = 0, P(a3) = 0,..., F^aj) = 0.
Da das Transmutationssystem der Dirigenten ct2, .. ., al voraus-
setzungsgemäß auch die Transmutationen
besitzt, so geht F(ax) = 0 durch die Transmutationen P1ZZi, P2ZZ,,
. .., PzZ?i in =0, P(a2w) = 0, ..., K(az(ö) = 0 über. Es wird
also F(x) = 0 durch alle Wurzeln von f(x) = 0 befriedigt, d. h. f(x) = 0
ist selbst in P irreduzibel.
Als Umkehrung von Satz 1 beweisen wir den
Satz 2. Ist /’(a;) = 0 eine imprimitive Gleichung mit
Koeffizienten aus P vom Grade n, so kann man unter
Alfred Loewy:
irreduziblen Gleichung cp(x) = 0, die $2, #3,..., zu ihren weiteren
Wurzeln hat. Durch Adjunktion von dx zum Körper P reduziert sich
das Transmutationssystem der Dirigenten av a2, at nach dem
erweiterten Lagrange sehen Satz (I, S. 22) auf diejenigen Trans-
mutationen, die dx ungeändert lassen, d. h. auf @. Bildet man nun-
mehr (.r—aj ßr—a2) ... (#—az), so ändert sich dieser Ausdruck als
symmetrische Funktion von ax, a2, ..., rzz bei allen Transmutationen von
(S nicht; mithin gehört er dem Körper (P; dj an. Man kann also
setzen: (x—ax) (x—a2) . .. (#—az) = /j
Wendet man auf diese richtige Gleichung zwischen ot1? a2, . .., az
mit Koeffizienten aus P — auch $x ist ja rationale Funktion von
av a2, . .., az — die Transmutationen H; (i = 2, 3, ..., t) der Dirigenten
av ot2, .. ., aL an, so erhält man die weiteren richtigen Gleichungen:
(x—a^~) (#—a2(ö) ... (x—otz(l)) = /) (,a?; d'?;) (z = 2, 3, ... /)
und durch ihre Multiplikation:
(.£ —ct-j (a;—a2) ... (x—a^) ... (rc—a/ö) (x— a2(ö) ... (x— az(i))
=ACg A) fi^2) ■■■ fi^t)-
Die rechte Seite ist eine symmetrische Funktion von d1( d2, ...,
mithin durch die Koeffizienten von (p (x) — 0 darstellbar und kann
daher mit f(x) bezeichnet werden, wobei f(x") nur Koeffizienten aus
P enthält.
Nachdem die Zerlegbarkeit von f(x) dargetan ist, hat man zum
Nachweis der Imprimitivität von /(a?) nur noch zu zeigen, daß f(x)
in P irreduzibel ist. Sei etwa F(a?) der irreduzible Faktor von f(x),
der durch <zT befriedigt wird, also P(ax)==0. Da @ infolge seines
transitiven Charakters l Permutationen Pt, P2, ..., Pz enthält, die ar suk-
zessiv in ava2, überführen, folgt aus der Gleichung ^(«^ = 0 durch
Anwendung dieser Permutationen weiter K(ct2) = 0, P(a3) = 0,..., F^aj) = 0.
Da das Transmutationssystem der Dirigenten ct2, .. ., al voraus-
setzungsgemäß auch die Transmutationen
besitzt, so geht F(ax) = 0 durch die Transmutationen P1ZZi, P2ZZ,,
. .., PzZ?i in =0, P(a2w) = 0, ..., K(az(ö) = 0 über. Es wird
also F(x) = 0 durch alle Wurzeln von f(x) = 0 befriedigt, d. h. f(x) = 0
ist selbst in P irreduzibel.
Als Umkehrung von Satz 1 beweisen wir den
Satz 2. Ist /’(a;) = 0 eine imprimitive Gleichung mit
Koeffizienten aus P vom Grade n, so kann man unter