Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 25
Der Beweis ergibt sich sofort aus der folgenden allgemeinen Be-
merkung: Ist q2, • ■ -i Qh eiü Teilsystem der Größen qx, q2, ..Qk,
die, wie im § 1 (I, S. 4) durch die Gleichungskette
Xj (#) = 0, X2(x; = 0, . .Xk (x; p15 p2, . .., o^) = 0
gegeben seien, so findet man das Transmutationsystem der Dirigenten
Pi, p2, ..., pÄ des Körpers (P; p1; p2, ..pÄ) nach der in § 1 gegebenen
Vorschrift aus den ersten h Gleichungen, indem man sich auf diese
beschränkt. Aus jeder Transmutation ( - ’ -2 ' ' ' j der Dirigenten
Pi, p2, . . ., Qk des Körpers (P; p15 p2, . . p&) ergibt sich demnach eine
Transmutation der Größen p19 p2, . . ., pÄ, indem man im Zähler
Pä_|_i, Qh+21 • • Qk ur*d die unter ihnen stehenden Größen des Nenners
streicht. Auf diese Weise erhält man auch sämtliche Transmutationen
der Dirigenten p15 p2, . . pÄ des Körpers (P; p15 p2, . . ., pA).
Ist die GALOissche Gruppe von f(x~) = 0 imprimitiv, so heißt dies:
Man kann die n Wurzeln von — in t (7 > 1) Systeme zu je l
einteilen: ot2, . . az, ot/ü, a2('\ . . ., ct/4 (P— 2, 3, .. ., /), die sich als
Ganzes untereinander permutieren, und es geht hierbei jede Wurzel
in jede über. Diese Tatsache bedeutet aber, wenn man sich auf
at, ot2, . .., ctz beschränkt, daß diese Größen ein imprimitives P-Trans-
mutation ssystem erleiden. Ist umgekehrt eine Gleichung n-ten Grades
= 0 imprimitiv, so lassen sich ihre Wurzeln in t Systeme zu je 1
teilen: ax, a2,..., az, a/4, a^l\ ..ot/ö (i — 2, 3,..., t'), so daß av a2, ..., «z
Dirigenten eines imprimitiven P-Transmutationssystems werden. Das
nämliche trifft auch für jedes der mit av a2, . . gleichberechtigten
t — 1 Systeme a1('\ a2('\ ..., ctz('} (i = 2, 3, ..., /) zu. Diese Tatsachen
bedeuten aber nach der oben gemachten Vorbemerkung, daß sich bei
den Transmutationen aller Wurzeln der Gleichung f(x) = 0, das heißt bei
ihrer G aloissehen Gruppe, die t Systeme stets gesondert in sich
oder als Ganzes ineinander permutieren, also die GALOissche Gruppe
von /’(a;) = 0 imprimitiv ist.
Definition der primitiven Gleichung: Jede irreduzible Glei-
chung mit Koeffizieriten aus P, die nicht imprimitiv ist,
heißt primitiv.
Definition des primitiven und imprimitiven Körpers: Der Körper
(P; t?i> p2, • • Qk)’ bei dem p,, p2, ..., durch eine Gleichungs-
kette wie im § 1 (I, S. 4) definiert seien, heißt primitiv
oder imprimitiv, je nachdem jede rationale Funktion
von • • •> Koeffizienten aus P einer in P irre-
duziblen Gleichung s-ten Grades genügt oder es auch