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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0035
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 27
Körper schwach primitiv nennen. Wir erhalten demnach das Re-
sultat: Jede primitive Größe eines imprimitiven Körpers
(P; t>2’ • • •’ Qk) schwach primitiv und genügt einer im-
primitiven Gleichung.
Hat man einen imprimitiven Körper (P; 21’ Qz> • • •> Qk)’ s0 genügt
jede seiner primitiven Größen, von denen eine mit ax bezeichnet sei,
einer imprimitiven Gleichung f(a:) = 0 vom Körpergrade. Nach dem
Charakter der imprimitiven Gleichung existiert dann eine rationale
Funktion R(a1) von ay mit Koeffizienten aus P, so daß — ß(ax) die
Wurzel einer irreduziblen Gleichung cp(x) = 0 mit Koeffizienten aus P
und die Wurzel einer in (P; dx) irreduziblen Gleichung /^(x; —0
wird, wobei das Produkt der Grade von (p(x) = Q und f1{x-,rd\) = 6
gleich dem Körpergrade ist. a1 erzeugen demnach auch den Körper
(P; 2p 22’• • o 2*)- Mithin ergibt sich der Satz: Für den imprimi-
tiven Körper ist charakteristisch, daß man bei ihm stets
ein Dirigentensystem 2i, Qz, • ■ •> Qk so auswählen kann, daß
diese Dirigenten pp 22’ •••, Qk des Körpers (P; pp Q& • ■ •» Qk)
der Reihe nach den Gleichungen X1(a;) = 0, X2 (x; 2i) = 0, • • •,
> 2i> Q'2’ • • •, Qk-i) — 0 genügen, die in den Körpern P be-
ziehungsweise (JP; Qr), Qv Q2), ■ ■(P; Qv Q& , ■Qk-i) irredu-
zibel sind und von denen mindestens zwei Gleichungen
höheren als ersten Grad besitzen. Man kann es dabei so
einrichten, indem man Qk als erzeugende Funktion des
Körpers (JP; q2, ..Qk) wählt, daß jede folgende Glei-
chung Koeffizienten aus einem wirklichen Erweiterungs-
körper der Koeffizienten der voraufgehenden Gleichung
enthält.
Da es für den imprimitiven Körper (P; 2p 22’• • •’2fc) ur|d nur für
ihn stets rationale Funktionen ox (21,22, •••, Qk) gibt, die Gleichungen
niedrigeren Grades als des Körpergrades _s genügen, folgt nach Satz 1
und 2 des § 3 (I, S. 18 und 21):
Charakteristisch für den imprimitiven Körper
(P’, 2i, 22’ • • •, Qk) igG daß es für ihn rationale Funktionen
öi (2i’22’ • • •’ Qk) gibt, die bei einem echten, von der Iden-
tität verschiedenen Teilsystem ®x des Transmutations-
systems® des Körpers (P; Qv Q2, ..Qk) ungeändert bleiben.
Die Zahl sx der Transmutationen von ®x ist echter Teiler
von s.
(Fortsetzung folgt.)
Körper schwach primitiv nennen. Wir erhalten demnach das Re-
sultat: Jede primitive Größe eines imprimitiven Körpers
(P; t>2’ • • •’ Qk) schwach primitiv und genügt einer im-
primitiven Gleichung.
Hat man einen imprimitiven Körper (P; 21’ Qz> • • •> Qk)’ s0 genügt
jede seiner primitiven Größen, von denen eine mit ax bezeichnet sei,
einer imprimitiven Gleichung f(a:) = 0 vom Körpergrade. Nach dem
Charakter der imprimitiven Gleichung existiert dann eine rationale
Funktion R(a1) von ay mit Koeffizienten aus P, so daß — ß(ax) die
Wurzel einer irreduziblen Gleichung cp(x) = 0 mit Koeffizienten aus P
und die Wurzel einer in (P; dx) irreduziblen Gleichung /^(x; —0
wird, wobei das Produkt der Grade von (p(x) = Q und f1{x-,rd\) = 6
gleich dem Körpergrade ist. a1 erzeugen demnach auch den Körper
(P; 2p 22’• • o 2*)- Mithin ergibt sich der Satz: Für den imprimi-
tiven Körper ist charakteristisch, daß man bei ihm stets
ein Dirigentensystem 2i, Qz, • ■ •> Qk so auswählen kann, daß
diese Dirigenten pp 22’ •••, Qk des Körpers (P; pp Q& • ■ •» Qk)
der Reihe nach den Gleichungen X1(a;) = 0, X2 (x; 2i) = 0, • • •,
> 2i> Q'2’ • • •, Qk-i) — 0 genügen, die in den Körpern P be-
ziehungsweise (JP; Qr), Qv Q2), ■ ■(P; Qv Q& , ■Qk-i) irredu-
zibel sind und von denen mindestens zwei Gleichungen
höheren als ersten Grad besitzen. Man kann es dabei so
einrichten, indem man Qk als erzeugende Funktion des
Körpers (JP; q2, ..Qk) wählt, daß jede folgende Glei-
chung Koeffizienten aus einem wirklichen Erweiterungs-
körper der Koeffizienten der voraufgehenden Gleichung
enthält.
Da es für den imprimitiven Körper (P; 2p 22’• • •’2fc) ur|d nur für
ihn stets rationale Funktionen ox (21,22, •••, Qk) gibt, die Gleichungen
niedrigeren Grades als des Körpergrades _s genügen, folgt nach Satz 1
und 2 des § 3 (I, S. 18 und 21):
Charakteristisch für den imprimitiven Körper
(P’, 2i, 22’ • • •, Qk) igG daß es für ihn rationale Funktionen
öi (2i’22’ • • •’ Qk) gibt, die bei einem echten, von der Iden-
tität verschiedenen Teilsystem ®x des Transmutations-
systems® des Körpers (P; Qv Q2, ..Qk) ungeändert bleiben.
Die Zahl sx der Transmutationen von ®x ist echter Teiler
von s.
(Fortsetzung folgt.)