Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel
mittels der Beziehung zwischen Lot und Parallel winkel.

Die Transformationsgleichungen.

Die £77 Ebene gehe durch den Mittelpunkt der Kugel mit dem
Radius x, wo shx=l. Die £ Achse schneidet die Kugel im Nord-
pol 0' und dieser sei der Anfangspunkt des sphärischen Koordinaten-
systems. Jedem Punkte P der £77 Ebene soll eineindeutig ein Punkt P'
der Halbkugel durch folgende Konstruktion zugeordnet werden. Man
-errichte in P auf der Ebene nach der Seite der positiven C (oben) das
Lot und ziehe durch den Anfangspunkt 0 des ebenen Koordinaten-
systems dazu die Parallele. Sie bildet mit der £ Achse den Winkel r
und trifft die Kugel im Punkte P', wobei 0' P' = r ist. Hat P von 0
den Abstand q, so sind r und q durch die Gleichung:

(1)

ch 0 = —-
cos r

verbunden, denn r ist das Komplement zum Parallelwinkel von q und
wird durch den Bogen auf der Kugel (da sh x = 1) direkt gemessen.
Es sollen überhaupt für alle Strecken, auch für Konstante, die kom-
-7-^- '
plementären Parallelwinkel eingeführt werden; es ist alsoZT(^) = ——r.
Bedient man sich der Weierstrass sehen Koordinaten, so treten die
sh-Funktionen auf, sie gehen über in die tg-Funktionen, also diejenigen,
welche zu den Achsenkoordinaten gehören. Umgekehrt führen die th-
Funktionen der Achsenkoordinaten zu den homogenen sin-Funktionen.
Auch die Zusammenhänge mit den Polarkoordinaten transformieren sich
entsprechend. In der Ebene ist:
2 th £ = th p • cos 99
sh £ = sh q • cos 99,
wenn mit £77 die Achsenkoordinaten, mit £77 die Weierstrass sehen
Lotkoordinaten bezeichnet werden. Nach Einführung der Parallel winkel
in 2 gilt auf der Kugel:

2