Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser:

(3) sm -II (£)J = sin \J^ - II (q) j cos 99
tg [w “ W)
Die Erklärung ergibt sich aus den Figuren 1 und 2.



Den hyperbolischen Dreiecken der Fig. 1 entsprechen in Fig. 2
sphärische, deren Seiten die Komplemente der Parallelwinkel zu den
Seiten der ersteren, deren Winkel die Komplemente der Winkel der
ersten sind.1) Wenn die Winkel an ihrer Stelle bleiben, so sind die
Katheten zu vertauschen. In der Tat lassen sich die Gleichungen 2
aus Fig. 1, die Gleichungen 3 aus Fig. 2 ablesen. Die durch Gleichung 1
gegebene Abbildung ist noch dahin zu ergänzen, daß P' an der Winkel-
halbierenden zu spiegeln ist. Es findet eine Umlegung des Drehungs-
sinnes statt. Dieser Tatsache soll durch die Bezeichnung der Fig. 3
Rechnung getragen werden, x- und «/-Achse sind vertauscht.
Bei der Transformation der Ebene durch komplementäre Ordinaten2)
bilden sich die Geraden durch Zyklen ab, die auf der Koordinatenachse
senkrecht stehen, die Transformation ist winkeltreu mit Umkehrung
des Drehungssinnes. Will man auch hier die Strecken durch Winkel
ersetzen, so bildet sich die Ebene ebenfalls auf eine andere Fläche ab.
Denken wir uns die £77 Ebene als doppeltes Blatt, das eine enthalte
alle Punkte P, das andere alle Punkte P'. Dann werde das letztere
um die £ Achse um 90° gedreht Errichtet man jetzt in P und P'
Lote auf ihren Ebenen, so sind sie parallel, da tj und komplementär
sind. Sei Q der Schnittpunkt von tj und rj' auf der £ Achse, so be-
schreibe man um Q einen Kreis mit dem Radius x (sh x = 1) in der
9 Vgl. ‘Der reelle Übergang zwischen den beiden nichteuklidischen Geo-
metrien’, Sitzungsberichte der Heidelb. Akademie 1926, 10. Abhandlung.
2) Liebmann, ‘Nichteuklidische Geometrie’, de Gruyter, Leipzig, § 11.

= sm r • cos 92
= tg r • cos 99.