Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel.

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Ebene tj tj', also senkrecht zur Achse. Die Parallele zu und durch
Q treffe den Kreis im Punkte P". Macht man für jeden Punkt die-
selbe Konstruktion, so wird die ganze Ebene auf den halben Mantel
des Kreiszylinders abgebildet, der die £ Achse zur Achse hat. Die
Punkte P, P' und P" sind verknüpft durch die Gleichung:

(4) eil 7] = -r-7 = -P77-W = -7
th T] cos 11 (jj) cos y
Die Abbildung der Ebene auf sich selbst
könnte man so modifizieren, daß man
nicht komplementäre Ordinaten, sondern
komplementäre Radien betrachtet. Führt
man für den einen Radius den Parallel-
winkel ein, indem man aus der Ebene
herausgeht, so ergibt sich die Trans-
formation, von der am Anfang die Rede
war, und die den Gegenstand dieser
Seiten bilden soll.


Den Figg. 1—3 entnehmen wir die Abbildungsgleichungen. Der
Kürze halber sollen die Funktionszeichen fortgelassen werden. Die
griechischen Buchstaben beziehen sich auf die Ebene, die lateinischen
auf die Kugel. Bei den nicht gestrichenen Größen (Achsenkoordinaten)
ist die hyperbolische bzw. die trigonometrische Tangensfunktion hin-
zusetzen, bei den gestrichenen (Lotkoordinaten) die Sinusfunktion, bei
q und r die Kosinusfunktion.


Ila. £ = a? IIb. ic = £
v = y y = y
Auf jeder der beiden Flächen:

Illa. £ = - Illb. x = -
q r
>2 = 7 22 = 7
Und endlich direkt:

IVa. £ = — IVb. x = ~
Y Q
- y - v
n = — y -
1 r J Q
Wir werden hauptsächlich die Gleichungen I und IV anwenden.