Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel.

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Alles durch komplementäre Winkel ausgedrückt:
(10) cos r cos tg s — sin — sin x cos a — sin y sin a
Durch Vergleich folgt wieder:
sin rx

cos S = r_
]/ 1 + COS2rx tg2 S
„ cos r, tg s P ,
cos /?— 1 Wie oben folgt
l/~ 1 + cos2rx tg2s
Der Bildkreis einer Abstandslinie trifft stets den Äquator.
Ist rx = 0, so folgt aus 11, S = d. h. in Übereinstimmung mit
dem früheren: Abstandslinien zu den Achsen gehen in größte Kreise
über. Die Umformung von 11 und 12 ergibt wie oben:
(14) tgS=-1--
cos s • tg rx
(15) tgR =-l—-
cosrx tg.s
Bezeichnen wir die beiden Konstanten der Abstandslinie mit Er
und Sv so folgt durch Vergleich mit 7 und 8:
(16) S P Et = E-\- S1=~ oder auch:
(17) tgR • tg$x = tgS • tgEx = 1.
Kreis und Abstandslinie mit denselben Konstanten
haben als Bildkurven Kreise, und der Radius des einen
ergänzt den Mittelpunktsabstand des anderen zu —.
Berühren sich die ursprünglichen Kurven (gleiche a), so berühren
sich auch die Bildkurven.
Zur Bestätigung möge aus 7 und 8 der kürzeste Abstand der
sich berührenden Kreise berechnet werden.
Für die Ebene ist px — o = y. Es ist:
ter(pt _ S') = 'tgS = coss-tgrx-tgs-cosrx -
1 + tg E • tg S 14- cos s bos tg s tg rx
sh cq sh o
ehe chpx 1 sh2ox — sh2 <7 _ , ,
^^shqxsho 2 ch(px4-o)
ch o • chpx