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https://doi.org/10.11588/diglit.43530#0003
Über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten
Krümm ungsmaßes.
Die Herren Graf und Sauer haben in einer gemeinsamen Arbeit
auf synthetisch-geometrischem Wege gezeigt, daß jedes dreifache ebene
Geradennetz von der Beschaffenheit, daß stets drei Gerade sich in
einem Punkte schneiden, eine Kurve dritter Klasse umhüllt, und um-
gekehrt, daß die Tangenten einer Kurve dritter Klasse immer als ein
solches dreifaches Geradennetz angeordnet werden können. Im folgen-
den werden diese Dreiecksnetze analytisch bestimmt; damit wird gleich-
zeitig die Frage nach den geodätischen Dreiecksnetzen auf den Flächen
konstanten Krümmungsmaßes erledigt. Es zeigt sich nämlich, daß die
Bestimmung der geodätischen Dreiecksnetze in der Ebene, auf der
Kugel und auf der Pseudosphäre von der Auflösung ein und derselben
Funktionalgleichung abhängt, was natürlich damit zusammenhängt, daß
sich die dreifachen ebenen Geradensysteme unmittelbar durch eine
Zentralprojektion bzw. Beltramische Abbildung auf die Kugel bzw. auf
die Pseudosphäre übertragen lassen, worauf auch die Herren Graf-
Sauer am Schlüsse ihrer Arbeit hinweisen.
(1)
' A(u) x + B(u) // + 1 = 0,
A(v) x + y + 1 = 0,
A(u-\-v)x-j- B(u-\-v)y 1 = 0.
Ein dreifaches Geradennetz in der Ebene von der ver-
langten Eigenschaft erfordert das gleichzeitige Bestehen der drei Glei-
chungen :
b Vgl. H. Graf und R. Sauer, Über dreifache Geradensysteme in der Ebene,
welche Dreiecksnetze bilden. Sitzungsberichte der bayrischen Akademie der
Wissenschaften, Mathematisch-naturwissenschaftliche Abteilung, 1924, S. 119 bis
156. Inzwischen hat auch, wie ich einer freundlichen brieflichen Mitteilung
entnehme, Herr Liebmann in Erweiterung seiner äußerst eleganten und einfachen
Methode, die er in der Bestimmung der ebenen geradlinigen rhombischen Netze
anwandte (vgl. H. Liebmann, Bestimmung der geodätisch - rhombischen Netze bei
konstantem Krümmungsmaße, Crelle’s Journal, Jubiläumsband 157), unter Um-
gehung der komplizierten Funktionalgleichung (10) der vorliegenden Arbeit
mittels ganz elementarer Integrationen die geradlinigen Dreiecksnetze in der
Ebene analytisch bestimmt. Bei Liebmann ergeben sie sich als Spezialfall von
viel allgemeineren Betrachtungen über ebene Kurven.
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Krümm ungsmaßes.
Die Herren Graf und Sauer haben in einer gemeinsamen Arbeit
auf synthetisch-geometrischem Wege gezeigt, daß jedes dreifache ebene
Geradennetz von der Beschaffenheit, daß stets drei Gerade sich in
einem Punkte schneiden, eine Kurve dritter Klasse umhüllt, und um-
gekehrt, daß die Tangenten einer Kurve dritter Klasse immer als ein
solches dreifaches Geradennetz angeordnet werden können. Im folgen-
den werden diese Dreiecksnetze analytisch bestimmt; damit wird gleich-
zeitig die Frage nach den geodätischen Dreiecksnetzen auf den Flächen
konstanten Krümmungsmaßes erledigt. Es zeigt sich nämlich, daß die
Bestimmung der geodätischen Dreiecksnetze in der Ebene, auf der
Kugel und auf der Pseudosphäre von der Auflösung ein und derselben
Funktionalgleichung abhängt, was natürlich damit zusammenhängt, daß
sich die dreifachen ebenen Geradensysteme unmittelbar durch eine
Zentralprojektion bzw. Beltramische Abbildung auf die Kugel bzw. auf
die Pseudosphäre übertragen lassen, worauf auch die Herren Graf-
Sauer am Schlüsse ihrer Arbeit hinweisen.
(1)
' A(u) x + B(u) // + 1 = 0,
A(v) x + y + 1 = 0,
A(u-\-v)x-j- B(u-\-v)y 1 = 0.
Ein dreifaches Geradennetz in der Ebene von der ver-
langten Eigenschaft erfordert das gleichzeitige Bestehen der drei Glei-
chungen :
b Vgl. H. Graf und R. Sauer, Über dreifache Geradensysteme in der Ebene,
welche Dreiecksnetze bilden. Sitzungsberichte der bayrischen Akademie der
Wissenschaften, Mathematisch-naturwissenschaftliche Abteilung, 1924, S. 119 bis
156. Inzwischen hat auch, wie ich einer freundlichen brieflichen Mitteilung
entnehme, Herr Liebmann in Erweiterung seiner äußerst eleganten und einfachen
Methode, die er in der Bestimmung der ebenen geradlinigen rhombischen Netze
anwandte (vgl. H. Liebmann, Bestimmung der geodätisch - rhombischen Netze bei
konstantem Krümmungsmaße, Crelle’s Journal, Jubiläumsband 157), unter Um-
gehung der komplizierten Funktionalgleichung (10) der vorliegenden Arbeit
mittels ganz elementarer Integrationen die geradlinigen Dreiecksnetze in der
Ebene analytisch bestimmt. Bei Liebmann ergeben sie sich als Spezialfall von
viel allgemeineren Betrachtungen über ebene Kurven.
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