Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Volk:

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist das Verschwinden
der Deter mi nante:

(2)

A(u) B(ü) 1
A(v) B(v) 1
A(u-]-v) B(uAv) 1

= 0.

Die geodätischen Linien auf einer Kugel sind bekanntlich Großkreise,
die durch Ebenen durch den Kugelmittelpunkt ausgeschnitten werden.
Ist die Gleichung der Kugel

42 y2 = B2,

so ist die Bedingung dafür, daß die Großkreise auf der Kugel ein
Dreiecksnetz bilden, das gleichzeitige Bestehen der drei Gleichungen:

(3)

A(u) x + B(u) ?/ -]- # = 0,
A(v) x + B(v) = 0,
A(uA-v) x 4- B(u-\-v) y-\-z — 0.

Die Bedingung dafür ist wieder das Verschwinden der Determinante (2).
Die geodätischen Linien auf der Pseudosphäre
, a + l/”a2 — r2 i /—,-,
x — r cos cp, y = r sm cp, z — a 1g —----- -— y a2 — r2
sind durch die Gleichung1)

(p - L, V 1 _ —1— -4- tt Cn
oder

(4) (C22 —.Cj2) «2r2 — 2 a C2 r2<p -ß a2 4- r2(p2 = 0
bestimmt. Die Anordnung zu einem Dreiecksnetze verlangt also das
gleichzeitige Bestehen der drei Gleichungen:

(5)

A(u) a2r2 — 2 B(u) ar2cp a2 4- r2cf>2 = 0,
A(v) a2r2 — 2 B(v) ar2cp 4- a2 4- r2cp2 = 0,
A(u-\-v) a2r2 ar2cp + «2 4* ^2g?2 = 0,

was wieder auf die Gleichung (2) zurückführt.
Gelingt es also, die Funktionalgleichung (2) zu lösen, so haben
wir damit gleichzeitig für die Ebene, Kugel und Pseudosphäre die
geodätischen Dreiecksnetze bestimmt und damit, infolge der Verbiegungs-
möglichkeit der abwickelbaren Flächen, bzw. der Flächen positiven
bzw. negativen Krümmungsmaßes in diese drei Flächen, für alle Flächen
konstanten Krümmungsmaßes. Wir werden zeigen, daß die Lösung

4 Vgl. etwa O.Volk, Über geodätische rhombische Kurvennetze auf krum-
men Flächen, insbesondere auf Flächen konstanter Krümmung. Sitzungsberichte
der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, 1925, 13. Abhandlung, S. 16.
Diese Arbeit soll im folgenden zur Abkürzung mit H. B. bezeichnet werden.