Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Otto Volk:

In analoger Weise findet man :
(13) ßx B(y^—ßßB(yy = (<a2ßß^aßß2ßA\vßA-(y2'ßß—y1'.ß2'^A(v)
ff ^2 ßl ~ ^l'ßz •
Aus Symmetriegründen (vgl. die Gleichungen (6) und (7)) muß
«/ = ao ßi= ßi, yß = yif öß = sein. Die beiden Gleichungen (12)
und (13) lassen sich nun, wie man sofort erkennt, durch eine lineare
Transformation der Funktionen ff, B auf die Form

(14) B(u) = a A'(u), B(v) = a A'(v)
zurückführen. Da eine solche Transformation nur eine projektive Trans-
formation der Koordinaten bedeutet, so kann man sich, ohne die All-
gemeinheit zu stören, mit den Gleichungen (14) begnügen. Setzen wir
aus (14) die Werte für die Funktionen B in (10) ein, so erhalten wir:

(A'(u) (— A(v)A'(v)A"'(v) — A'(v)2 A"(v) ff- 2 A(v) A"(w)2)'
+ A(u)A'(u)(A'(v) A"'(v) — 2A"(v)2)
+ A' ’(u) (— 4 A(v) A!(v) A'» + 3 A’(v)3 ff A(v)2A'"(ff)
ß-A"'(u) (A(v)2 A"(v) — A(v) A'(v)2)
+ (— 2ff'(«) <4''(w)4-ff(w)ff'''(u)) (A'(v)2—2 A(v) A" (v))
+ A'(v) (— A(u)A'(u)A"(u) — A'(u)2A"(u)-ß2 A(u)A'(u)2) ~

-ßA(v)A'(v) (A'(u)A"'(u) — 2A"(u)2)
+ A"(v)(— 4A(u)A'(u)A"(u) + 3 A'(u)3 ff A(u)2A'''(u))

+ ff'"(v) (A(u)2 A"(u) — A(u) A'(u)2)
+ (— 2A'(v)A"('V)-ßA(v)A"'(v))[A'(u)2 — 2A(u)A"(u))

Durch wiederholte Differentiation nach v und Elimination findet

man hieraus unter anderem:

(16)

\A"\u)= ct1A'(u)-ß2 b1 A(u) A'(u) -ß A"(u),
\A(u)A'"(u)—2 A'(u)A "(u)=a2A'(u)-ß2b2 ff(^) A'(u)ß-c.2 A"(u),

allerdings unter der Voraussetzung, daß keiner der beiden Koeffizienten
von A"'(u), A(u)A"(u) — 2A'(u)A"(u) Null ist. Diese beiden Differen-
tialgleichungen (16) kann man einmal integrieren; man erhält so:

(17)

A"(u) = a1A(u)-j-b1A(u)2 Cj A'(u)4-d1}
A(u)A"(u) = ~-~A'(u)2^ra2A(u)4-b2A(u)24-c2A/(u)-^cl2.

Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen A"(u), so erhält man:

(18) («x — ö2) ^4(^)2 + A(u)3 — a2} A(u") ff- G A(u) A'(u)
—^rA'(u)2- c2A'(u)—d2 = 0,
woraus durch Differentiation folgt:
A"(u)(c1A(zi)~3A'(u) — c2) =2(b2— a^A^A'^—SbjA^ßA^u)
— zl'(u)2 + («2 — dß> A'(u).