Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten Krümmungsmaßes. 15

Endlich wird:
, Ä(u)B\vy ((ß + 2yB(v))A(u) + A\u)y
-4/-y->-N*-
= C N2 ~
Somit ergibt sich also:
/'A(uA~v)\ _ & _ A(u 4- v) 4- c A(u 4- v)2
\ A(u + v) J
oder:
(33) A'(u-\-v) = A(uA~v) V'a-A2bA(uA~'v) + cA(u-Av)2.
A(u-Av) genügt also der gleichen Differentialgleichung wie A(u). Man
kann nun noch leicht zeigen, daß zwischen A(uA~v), B(uA~v) eine
ähnliche Beziehung besteht wie zwischen A(u), B(u). Es ist nämlich:
B(u + v) = B(v) + B^^B^- A(tt)B'(v)
oder:
B(uA~v') -
oder:
(34) £(« + ») =-^ + <52.4(« + »)-^4?^.

-B(») +

Wird nun B(y} — kA(v) = 0, so hat man in (33) und (34) A(uAv)
durch B(u + v) — k A(u + v) zu ersetzen.

Im zweiten Sonderfalle:
fyW + cJ, B(U)= ak(~2 ^ + C2
+ B^ = ak(^v + Ci
kann man, da der Nenner 0 wird, die Funktionen A(uA~v), B(u-\-v)
nicht aus den Gleichungen (30) berechnen. Man kann aber in diesem
Falle die dritte Schar des Dreiecksnetzes direkt durch Subtraktion der
beiden Gleichungen der beiden andern Scharen bestimmen.
Wird endlich gleichzeitig
J(w) = 0, J.(F) = 0 oder B(u) ~ k A(u) = 0, B(v) — kA(v) = 0,
so wird, wie man aus der Gleichung (6) sofort ersieht,

yi(w4-i>)=0 bzw. B(u-i-v)—kA(uA-v) = 0,
während B(u + v), wie B(m) und B(v\ beliebig bleibt.