Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten Krümmnngsmafies. 17
ein Büschel durch den Nullpunkt, der auch Parabelpunkt ist, bildet.
Die Kurve dritter Klasse zerfällt also in allen Sonderfällen in eine
Kurve zweiter Klasse und einen Punkt.
Wird endlich
A(u) = 0, A(v) = 0, A(u-{-v) = 0,
so bildet jede der drei Geradenscharen ein Büsche]. Die Kurve dritter
Klasse zerfällt also in drei Punkte. Wir erhalten somit den Satz:
Drei Geradenscharen in der Ebene bilden dann und
nur dann ein Dreiecksnetz, wenn sie ein- und dieselbe
Kurve dritter Klasse umhüllen, die in einen Punkt und
einen Kegelschnitt oder in drei Punkte ausarten kann.
2. Geodätische Dreiecksnetze auf der Kugel.
Ersetzt man in dem Vorhergehenden x, y durch -, -, so erhält
z z
man für die Kugel den Satz:
Drei Scharen von Großkreisen einer Kugel bilden ein
Dreiecksnetz dann und nur dann, wenn sie entweder eine
Kurve umhüllen, die durch die Fläche
J mrr_p(o)-|- amyp'(o')-\-(z-\- nz) = 0
1 a>p'(a')-\- ayp''(o) =0
ausgeschnitten wird, oder eine Schar ein Büschel bildet,
während die beiden andern Scharen eine Kurve umhüllen,
die durch den Ursprungskegel
(38) ar±x2 + 2 a12xy + a22y2 + 2 + 2 a23yz + «3342 = 0
ausgeschnitten wird oder drei verschiedene Büschel
bilden.
3. Geodätische Dreiecksnetze auf der Pseudosphäre.
P (Jj (Y)
Ersetzt man in 1. x, y bzw. durch -5-x—z, 5so erhält
a2 + r2cp2 a2 4- r2(p2
man für die Pseudosphäre den Satz:
Drei Scharen geodätischer Linien auf der Pseudo-
sphäre bilden ein Dreiecksnetz dann und nur dann,
wenn sie entweder eine Kurve umhüllen, die durch die
Fläche
(39) J ma2r2p(a') — 2ama<pr2p'(o)-ir a2-\-r2(p2 -{-na2r2 = 0
l ap,(a') — 2a(pp"(o') — Q