Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Volk:

aus der Pseudosphäre ausgeschnitten wird, oder eine Schar
ein Büschel bildet, während die beiden andern Scharen ein
und dieselbe Kurve umhüllen, die durch die Gleichung
(40) a11(a2 + ^’V2)2 + 2a12r2(a2-J-r2g?2) + a22/4
+ 2a13(a24-/2992)r29? -4-2a23/49? + a33/49?2 = 0
gegeben ist, odei’ drei verschiedene Büschel bilden.
§ 6. Geodätische rhombische Dreiecksnetze.
Unter geodätischen rhombischen Dreiecksnetzen verstehen wir solche
Dreiecksnetze, die die Eigenschaft haben, daß die Scharen u = const.
und v = const. sich rhombisch anordnen lassen.
Wie Herr A. Voss1) gezeigt hat, sind geodätische rhombische
Netze nur auf Liouville sehen Flächen möglich, und es ist, wenn e, f, g
die Fundamentalgrößen erster Ordnung sind und d der Winkel, den
die Kurven u = const. und v = const. miteinander bilden2):
(41) e = 0 = (-F(u + O—v))2, f= F\u-\-v)— <F(u — v),
eos & = +
Wir legen uns zunächst allgemein die Frage vor: Auf welchen
Liouville sehen ' Flächen sind geodätische rhombische Dreiecksnetze
möglich? Zur Beantwortung dieser Frage gehen wir von der Form des
Linienelements aus:
(42) ds2, — A2 du2 -f- 2 A C eos du dv 4- C2 dv2.
Die Kurven u — const, und v — const. sind nun geodätische Linien auf
einer Fläche, wenn ist:
| Cu — Av cos d = — A sin d dv,
| Av — Cu cos d = — C sin d du.
Sollen nun auch die Kurven u-\-v = const. geodätische Linien sein, so
ist die weitere Bedingung dafür:
. p I A — C cos d Au — 2 Av -f- Cv cos d __
\A cos d — C Au cos d — 2 Cu + Cv ’
wie man leicht aus der bekannten Differentialgleichung der geodätischen
4 Vgl. A. Voss, Über diejenigen Flächen, die durch zwei Scharen von
Kurven geodätischer konstanter Krümmung in infinitesimale Rhomben zerlegt
werden. Sitzungsberichte der bayr. Akad. d.Wiss. math.-phys. Klasse, Bd. XXXVI
(1906) S. 269.
2) Vgl. H. B. S. 5.