Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten Krümmungsmaßes. 19

Linien für = — 1 erhält. Da A = 0 oder C — 0 nicht in Betracht
du
kommt, so erhält man hieraus:
(44) (ACV -4~AU C) sin2# -f- 2 (C Cu — AAV) cos & — 2 (A Cu -- CAV')= 0.

Infolge der Gleichungen (43) ist nun:
C Cu + A Av = ((14, + A Cu) cos ■& — A Csin & (#M + #v).
Setzt man diesen Wert für C Cu-\- AAV in (44) ein, so ergibt sich:
(45) (ACv-]-AuC—2 CAV — 2 ACU) sin & — 2 A Ccos'&(&u + #„)= 0
oder: d A d C
dulg (c2 sin2#) + äFlg Qd2 sin2 #) = °'
Die drei Gleichungen (43) und (46) bestimmen zusammen die Frage
nach den geodätischen Dreiecksnetzen auf Flächen überhaupt.
Sollen nun die geodätischen Dreiecksnetze zugleich eine rhombische
Teilung bewirken, so muß A=C sein. Aus (44) folgt dann sofort:
(47) Au + Av = 0
und somit aus (45):
(48) #« + #„ = 0.
Nach (47) kann A eine Funktion nur von u — v sein. Somit
muß in den Gleichungen (41) F(u-\-v~) einen konstanten Wert an-
nehmen; es wird also:
(49) F(u + v) = k
und das Linienelement erhält die Form:
(50) ds2 = (k — F{u — v)) (k{du + dv)2 — &{u — v) {du — dv)2).
Daraus folgt:
Geodätische rhombische Dreiecksnetze gibt es nur auf
den LiouviLLEschen Flächen, die auf Rotati onsflächen ab-
wickelbar sind.

3 0<2
20

Für die Flächen konstanten Krümmungsmaßes läßt sich die Funk-
tion F leicht bestimmen. Denn ist K das Krümmungsmaß, also eine
Konstante, so besteht zwischen den Funktionen F(u-\-F), d>(u—v) die
Funktionalgleichung :
Q 7?'2
-F(F-0^F'-|^r

<[)" 1 0'2
~F~2~^.

- 0

/F2 _1 -^2
\F2 2F2,

9 Vgl. H. B. S. 18, Gl. (61). Es sind aber dort zwei Druckfehler; statt

1 F’2 1 0'2
— g -p-, — —yj- in den Klammern muß —

1
2 F2’

1 F2
0^ Stehen>