Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Volk:

Da nach (49) F(u -ß 0 — k ist, so erhält man hieraus:
dz

d(u—v)\y Ö»(k — <F)
woraus durch Integration folgt:
(51) ? = K-2K® + c,
ß (& — 0)
wo c eine weitere beliebige Konstante bedeutet. Durch nochmalige
Integration erhält man hieraus:
(52) /-=_ = u — v -ß clf
J(k-&)V& Vc-.2K$ 1
woraus man <Z> leicht finden kann.

= - kV&V - <V,

Betrachten wir nun im besonderen den Fall der Ebene, der Kugel
und der Pseudosphäre. Zunächst erkennt man daraus, daß sich auf
diesen Flächen zwei Scharen von geodätischen Linien immer rhombisch
anordnen lassen, wenn sie zwei verschiedene Büschel bildenß, daß
drei Scharen sich immer zu einem geodätischen rhombischen Dreiecks-
netz anordnen lassen, wenn sie drei verschiedene Büschel bilden. Die
weiteren Netze kann man in folgender Weise bestimmen.
1. Im Falle der Ebene erhält man aus (52) sofort für K =0:

1-ßcos(a(u —v) + ß)
und somit
cos 'd = cos(a(w — v) -ß ß)
oder
$ = a(u — v)-\-ß;

die Gleichung (48) ist also erfüllt und i) hat die Form:
# = ?7(m)- F(z),
wie es bekanntlich für alle abwickelbaren Flächen der Fall ist. Man

findet nun leicht2):

cos(a-u)du -ß cos(otM -ß ß)dv

0

1 -ß cos (ct(w — v) -ß ß)

2 k siD^±^
ct(u — v) + ß
a cos ——2-

sin ( ctz) dw -ß sin ( a u -ß /?) dv

1 -ß COS (ct(W—71) -ßß)

2 k
a(u — v) 4~ ß
a cos ——g—-

9 Vgl. H. B.
2) Vgl. O.Volk, Zur Voss sehen Arbeit: Kurvennetze und Laplace sehe par-
tielle Differentialgleichungen. Sitzungsber. d. bayr. Akad. d. Wiss. math.-phys.
Klasse, 1924, S. 174.