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https://doi.org/10.11588/diglit.43530#0022
22
Otto Volk:
(56 a)
— a±U\ + \K24" ci^3» i = mii + wi^24_2h
U2 = ^4. 4” ^2^2 4~ ^2^3> ^2 = ^2 ^4 4“ ^2 ^2 4~ 2^2 ^3>
Ug7 = 6C3E4 4“ ^3^2 4“ c3^3> ^3 ~ m3 Kl 4- W3 F2 4- 4*3 ^4‘
Die Bedingung (48) gibt nun:
(55) ü. F/ + U2 F2' + U3 F3' + U/V.+ U2' F2 + U3' V3 = 0,
woraus durch zweimalige Differentiation nach v bzw. nach u und
Elimination folgt:
Da die Gleichung (55) identisch erfüllt sein muß, so folgt:
Es wird also:
(56 b)
w«! — — av m2 — — bv tn3 = —
n^-a» n2 = — b2, n3 = — c2
Pl — a3> P2 = ~~ ^3’ P% = C3'
Fi — — $i Fi a2 F2 ß3 F3,
F2' = -6i Fi-&2 V2-b3 V3,
. F3' = -q Fi-c2 V2~c3 F3.
Sollen nun die Kurven u — const. und v — const. ein rhombisches Netz
bilden, so müssen auch die Gleichungen erfüllt seinx):
K/ U2 — Ut ü2 = Ü1 + &i' TJ2 -j- Cy U3,
^1U3 ~ Ui' U3 = a2 Ui + fr2' U2Jrc2 ü3,
U2 U3— U2U3 =a3 U1-pb3 U2-^c3 U3,
^^-FiF.'^-c/Fi
c2 U2 — Ci F3
^F3'-F/F3 = -&3'Fi
-&2'F2-&i'F3
F2'F3-F2F37 = -<Fi
^2 U2 ' ®i F3.
Die Gleichungen (56) und (57) sind dann und nur dann mit-
einander verträglich, wenn je eine der Größen Uv U2, U3, Vv F2, F3
konstant ist, also etwa ist:
U± = k, V^ki.
Dann wird also:
«i = a2 = c3 = ?>i = Ci = 0
und wir erhalten aus (56):
(58) V2' = -b2V2-b3V„
l U3 —b3 U2 ff- c3 U3, F3 = c2 T 2 c3 F3,
*) Vgl. H. B. S. 11.
Otto Volk:
(56 a)
— a±U\ + \K24" ci^3» i = mii + wi^24_2h
U2 = ^4. 4” ^2^2 4~ ^2^3> ^2 = ^2 ^4 4“ ^2 ^2 4~ 2^2 ^3>
Ug7 = 6C3E4 4“ ^3^2 4“ c3^3> ^3 ~ m3 Kl 4- W3 F2 4- 4*3 ^4‘
Die Bedingung (48) gibt nun:
(55) ü. F/ + U2 F2' + U3 F3' + U/V.+ U2' F2 + U3' V3 = 0,
woraus durch zweimalige Differentiation nach v bzw. nach u und
Elimination folgt:
Da die Gleichung (55) identisch erfüllt sein muß, so folgt:
Es wird also:
(56 b)
w«! — — av m2 — — bv tn3 = —
n^-a» n2 = — b2, n3 = — c2
Pl — a3> P2 = ~~ ^3’ P% = C3'
Fi — — $i Fi a2 F2 ß3 F3,
F2' = -6i Fi-&2 V2-b3 V3,
. F3' = -q Fi-c2 V2~c3 F3.
Sollen nun die Kurven u — const. und v — const. ein rhombisches Netz
bilden, so müssen auch die Gleichungen erfüllt seinx):
K/ U2 — Ut ü2 = Ü1 + &i' TJ2 -j- Cy U3,
^1U3 ~ Ui' U3 = a2 Ui + fr2' U2Jrc2 ü3,
U2 U3— U2U3 =a3 U1-pb3 U2-^c3 U3,
^^-FiF.'^-c/Fi
c2 U2 — Ci F3
^F3'-F/F3 = -&3'Fi
-&2'F2-&i'F3
F2'F3-F2F37 = -<Fi
^2 U2 ' ®i F3.
Die Gleichungen (56) und (57) sind dann und nur dann mit-
einander verträglich, wenn je eine der Größen Uv U2, U3, Vv F2, F3
konstant ist, also etwa ist:
U± = k, V^ki.
Dann wird also:
«i = a2 = c3 = ?>i = Ci = 0
und wir erhalten aus (56):
(58) V2' = -b2V2-b3V„
l U3 —b3 U2 ff- c3 U3, F3 = c2 T 2 c3 F3,
*) Vgl. H. B. S. 11.