DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0012
12
Reinhold Baer:
Notwendig sind — wegen ' Nx - die positiven Elemente aus Po
in positiven Klassen von KfN enthalten; wenn n ein Element aus N
und r 1> 0 aus Po ist, so gilt | n \ <f r, da r — | n | in einer positiven
Klasse von K\N enthalten, also positiv ist.
Sei weiter « ein beliebiges Element aus K, aber nicht aus N,
n wieder eines aus N und sei nfa = b, d. h. R(b) = R(n) — Pdp); da
b wegen N3 in N gelegen ist, wegen des ad 1 gezeigten also in No,
ist R(b) <f 0, d. h. R(n) <( R(a). .
B. Habe umgekehrt N die Eigenschaften 1. und 2.
Seien ax und a2 Elemente einer von N und 1/N verschiedenen
Klasse von AIN; wir zeigen:
ax und a2 sind entweder beide positiv oder beide negativ, d. h.
ai' ai'f> 0-
Es ist nämlich ar — a2 Element von N, wegen 1. also auch von No;
also ist R (ax —a2) <j R (aß) wegen 2.
O. B. d. A. sei a1f> a2; ist dann Qf>av so ist auch 0^>a2; ist
aber 0 <( av so folgt aus R7 und 2., daß | ax — a2 | = — a2 <( j a1 | -
ist, d. h. — a2<fö oder a2f>0.
Wir können also zum Positivbereich von KjN den Bereich aller
der Klassen von KjN erklären, die nur positive Elemente enthalten.
Summe, Produkt und Quotient von zwei Klassen, die nur positive
Elemente enthalten, enthalten auch nur positive Elemente; N enthält
nicht nur positive Elemente (wegen N4), ist also nicht positiv; da aber
K/N ein Körper ist, so folgt aus dem oben Gezeigten, daß von zwei
Klassen A und — A genau eine positiv ist.
Satz 6: Sind K\N und K übereinstimmend geordnet, so gibt es einen
Körper P in K derart, daß die Elemente von N und nur diese
hinsichtlich P unendlich klein sind.
Wir wählen als Körper P einen Körper derart, daß er
1. aus einer Klasse von KjN höchstens ein Element enthält und
2. in keinem 1. erfüllenden Körper enthalten ist,
d. h. einen Kepraesentantenkörper und zwar einen maximalen.
Die Existenz solcher Körper zeigt man in üblicher Weise. Da P
mit N nur die Null gemein hat, so sind die von Null verschiedenen
Elemente von N sicher in Hinsicht auf P unendlich klein.
Sei jetzt P der durch P repräsentierte Unterkörper von K\N;
wir zeigen:
(a) K\N enthält keine in Einsicht auf P unendlich kleinen Klassen.
Reinhold Baer:
Notwendig sind — wegen ' Nx - die positiven Elemente aus Po
in positiven Klassen von KfN enthalten; wenn n ein Element aus N
und r 1> 0 aus Po ist, so gilt | n \ <f r, da r — | n | in einer positiven
Klasse von K\N enthalten, also positiv ist.
Sei weiter « ein beliebiges Element aus K, aber nicht aus N,
n wieder eines aus N und sei nfa = b, d. h. R(b) = R(n) — Pdp); da
b wegen N3 in N gelegen ist, wegen des ad 1 gezeigten also in No,
ist R(b) <f 0, d. h. R(n) <( R(a). .
B. Habe umgekehrt N die Eigenschaften 1. und 2.
Seien ax und a2 Elemente einer von N und 1/N verschiedenen
Klasse von AIN; wir zeigen:
ax und a2 sind entweder beide positiv oder beide negativ, d. h.
ai' ai'f> 0-
Es ist nämlich ar — a2 Element von N, wegen 1. also auch von No;
also ist R (ax —a2) <j R (aß) wegen 2.
O. B. d. A. sei a1f> a2; ist dann Qf>av so ist auch 0^>a2; ist
aber 0 <( av so folgt aus R7 und 2., daß | ax — a2 | = — a2 <( j a1 | -
ist, d. h. — a2<fö oder a2f>0.
Wir können also zum Positivbereich von KjN den Bereich aller
der Klassen von KjN erklären, die nur positive Elemente enthalten.
Summe, Produkt und Quotient von zwei Klassen, die nur positive
Elemente enthalten, enthalten auch nur positive Elemente; N enthält
nicht nur positive Elemente (wegen N4), ist also nicht positiv; da aber
K/N ein Körper ist, so folgt aus dem oben Gezeigten, daß von zwei
Klassen A und — A genau eine positiv ist.
Satz 6: Sind K\N und K übereinstimmend geordnet, so gibt es einen
Körper P in K derart, daß die Elemente von N und nur diese
hinsichtlich P unendlich klein sind.
Wir wählen als Körper P einen Körper derart, daß er
1. aus einer Klasse von KjN höchstens ein Element enthält und
2. in keinem 1. erfüllenden Körper enthalten ist,
d. h. einen Kepraesentantenkörper und zwar einen maximalen.
Die Existenz solcher Körper zeigt man in üblicher Weise. Da P
mit N nur die Null gemein hat, so sind die von Null verschiedenen
Elemente von N sicher in Hinsicht auf P unendlich klein.
Sei jetzt P der durch P repräsentierte Unterkörper von K\N;
wir zeigen:
(a) K\N enthält keine in Einsicht auf P unendlich kleinen Klassen.