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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0040
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Heinrich Kapferer:
Teiler von gK, also auch von f sein; also würden weder gK, g noch
f',g als Formenpaare aus der Gesamtheit § zu bezeichnen sein, ent-
gegen der ersten Voraussetzung zu Beginn dieses § 3.
Nur nebenbei, weil für das Folgende ohne Bedeutung, sei darauf
aufmerksam gemacht, daß auch das Auf find en der gemeinsamen
Nullstellen von f und g durch die gegebenen Vorschriften implizite
zurückgeführt ist auf das Zerlegen von binären Formen in ihre
linearen Faktoren.
Als Folgerung aus den gegebenen Vorschriften beweisen wir nun
das Vertauschungsgesetz1)
(F, Gr) = (G, F).
Nach Vorschrift 10 ist diese Relation identisch mit der Gleichung
(A, F) + {fo, g} + (/*, go) + (f, g) = (g0, f'o) + (g, f0) + (g0, f) + (& /).
Es ist aber nach Vorschrift 8 schon (Jo, g) = (g, ff) und (/) gf) = (g0, f).
Ferner ist ff0, g0) — (g0, fo) eine leichte Folge der Vorschriften 1 bis 4
und 7. Es bleibt also nur noch zu beweisen: (J, g) — (g, f).
Wir zeigen, daß dieser Fall sich zurückführen läßt auf die in
Vorschrift 8 enthaltene Relation ff0, g} = (g, ff). Wir setzen voraus,
fz und gz sind beide größer als Null, und reduzieren folgendermaßen:
1. Fall: fz~>gz', dann ist
nach Vorschrift 11: (/", t?) = ff', g) — (gK, g) 1 mit ein und demselben ff
nach Vorschrift 12: fg, f) = (g, ff — (g, g.f) ] und zwar fz<Zfz.
Es findet also jedesmal Erniedrigung des Grades in z statt, und zwar
erkennt man: Es ist wirklich (/) g) = (g, f\ wenn nur schon (/', g)
= (g, ff ist; denn (gx, g} = (g, gj) ist ja schon in Vorschrift 8 enthalten.
Analog verfahren wir im
2. Fall: fz<gz', hier ist
nach Vorschrift 12: ff, g) = ff, gf — (f, ff) 1 mit ein und demselben gf
nach Vorschrift 11: (g, f) = (gf f)— (fi, f) j und zwar gz<gz.
Dei’ 3. Fall, fz = gz, bedarf einer andersartigen Überlegung. Man
denke sich — für den Augenblick — die Vorschriften 11 und 12 etwa
in folgender Weise abgeändert: Die Vorschriften 11 und 12 sollen im
Falle fz 4 gz unverändert Geltung haben; dagegen im Falle fz = gz soll
eine und nur eine der beiden Reduktionsformeln 11 und 12 Geltung
haben; welche von beiden, darüber sollen die numerischen
Daten2) von f und g jedesmal eindeutig entscheiden.
h Daß diese Relation identisch ist mit M fF, (?) = M(G, F), geht aus dem
Schlußsatz von § 5 hervor.
2) Z. B. die Ordnungszahlen m, n von f, g; falls diese aber einander gleich
sind, so sollen die numerischen Koeffizienten von f und g in irgendeiner ein-
deutigen, aber sonst willkürlich festzusetzenden Weise ausschlaggebend sein.
Heinrich Kapferer:
Teiler von gK, also auch von f sein; also würden weder gK, g noch
f',g als Formenpaare aus der Gesamtheit § zu bezeichnen sein, ent-
gegen der ersten Voraussetzung zu Beginn dieses § 3.
Nur nebenbei, weil für das Folgende ohne Bedeutung, sei darauf
aufmerksam gemacht, daß auch das Auf find en der gemeinsamen
Nullstellen von f und g durch die gegebenen Vorschriften implizite
zurückgeführt ist auf das Zerlegen von binären Formen in ihre
linearen Faktoren.
Als Folgerung aus den gegebenen Vorschriften beweisen wir nun
das Vertauschungsgesetz1)
(F, Gr) = (G, F).
Nach Vorschrift 10 ist diese Relation identisch mit der Gleichung
(A, F) + {fo, g} + (/*, go) + (f, g) = (g0, f'o) + (g, f0) + (g0, f) + (& /).
Es ist aber nach Vorschrift 8 schon (Jo, g) = (g, ff) und (/) gf) = (g0, f).
Ferner ist ff0, g0) — (g0, fo) eine leichte Folge der Vorschriften 1 bis 4
und 7. Es bleibt also nur noch zu beweisen: (J, g) — (g, f).
Wir zeigen, daß dieser Fall sich zurückführen läßt auf die in
Vorschrift 8 enthaltene Relation ff0, g} = (g, ff). Wir setzen voraus,
fz und gz sind beide größer als Null, und reduzieren folgendermaßen:
1. Fall: fz~>gz', dann ist
nach Vorschrift 11: (/", t?) = ff', g) — (gK, g) 1 mit ein und demselben ff
nach Vorschrift 12: fg, f) = (g, ff — (g, g.f) ] und zwar fz<Zfz.
Es findet also jedesmal Erniedrigung des Grades in z statt, und zwar
erkennt man: Es ist wirklich (/) g) = (g, f\ wenn nur schon (/', g)
= (g, ff ist; denn (gx, g} = (g, gj) ist ja schon in Vorschrift 8 enthalten.
Analog verfahren wir im
2. Fall: fz<gz', hier ist
nach Vorschrift 12: ff, g) = ff, gf — (f, ff) 1 mit ein und demselben gf
nach Vorschrift 11: (g, f) = (gf f)— (fi, f) j und zwar gz<gz.
Dei’ 3. Fall, fz = gz, bedarf einer andersartigen Überlegung. Man
denke sich — für den Augenblick — die Vorschriften 11 und 12 etwa
in folgender Weise abgeändert: Die Vorschriften 11 und 12 sollen im
Falle fz 4 gz unverändert Geltung haben; dagegen im Falle fz = gz soll
eine und nur eine der beiden Reduktionsformeln 11 und 12 Geltung
haben; welche von beiden, darüber sollen die numerischen
Daten2) von f und g jedesmal eindeutig entscheiden.
h Daß diese Relation identisch ist mit M fF, (?) = M(G, F), geht aus dem
Schlußsatz von § 5 hervor.
2) Z. B. die Ordnungszahlen m, n von f, g; falls diese aber einander gleich
sind, so sollen die numerischen Koeffizienten von f und g in irgendeiner ein-
deutigen, aber sonst willkürlich festzusetzenden Weise ausschlaggebend sein.