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https://doi.org/10.11588/diglit.43537#0005
Über die Eindeutigkeit der Integrale usw.
5
| Yi (x) — Zi (x) | <
nö \x — xQ\
]-nK\x-x0\
(i = 1, 2, . . n)
(wegen der Bezeichnungen siehe § 11) kann zwar in wenigen Zeilen
gewonnen werden, hat aber den Nachteil, daß in der Begrenzung ihres
Gültigkeitsbereichs
| x — x0 I < Min (av a2,
-—-)
nK 7
(e > 0, beliebig klein)
die Konstante K der Lipschitz-Bedingung auftritt; im allgemeinen er-
gibt sich deshalb ein kleinerer Bereich gesicherter Konvergenz der Poly-
gone gegen die Integrale (2) als bei der klassischen Darstellung. Dieser
Mißstand verschwindet bei Verwendung der günstigeren Ungleichung
(»=1,2,...,»),
die aber bisher5) nicht in der wüinschenswerten Kürze bewiesen wurde.
Diese zweite Abschätzung kann man, wie wir zeigen wollen, mittels
vollständiger Induktion im Kontinuum6) rasch bestätigen und damit
den Beweis des Herrn de la Vallee Poussin so ausgestalten, daß er
ebenfalls den fundamentalen Existenzsatz in der klassischen Form liefert,
und zwar auf einem Wege, der von keinem anderen Beweis an Kürze
und Einfachheit übertroffen werden dürfte.
§ 2. Der allgemeine Konvergenzsatz.
1. Wir betrachten die Gattung derjenigen Verfahren
zur näherungsweisen Berechnung der Integrale (2) des
Differentialgleichungssystems (3) mit den Anfangs werten
(4), die zu jeder positiven Zahl o ein System von im Inter-
vall (a?0 — «p + a2) stetigen und mit vorwärts- und rück-
5) 0. Holder, Abschätzungen in der Theorie der Differentialgleichungen.
Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzig-
jährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern,
(Berlin, J. Springer), 1914, S. 116—132. L. Bieberbach, Theorie der Differential-
gleichungen (Berlin, J. Springer) 1923, S. 36 f. Der erste Höldersche Beweis
benutzt die Cauchysche Polygonzugmethode selbst, der Bieberbachsche das Ver-
fahren der sukzessiven Approximationen; bei Herrn Bieberbach steht zwar eine
etwas weniger scharfe Abschätzung, doch kann die Ungleichung des Textes sofort
aus den dortigen Entwicklungen abgelesen werden. Im Grundgedanken stimmt
der zweite Höldersche Beweis mit unserem überein, doch dürfte die hier ge-
gebene Ausführung noch kürzer sein.
6) Wegen dieser Schlußweise vgl. 0. Perron, Die vollständige Induktion im
Kontinuum, Jahresber. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung 35, 1926, S. 194
bis 203.
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| Yi (x) — Zi (x) | <
nö \x — xQ\
]-nK\x-x0\
(i = 1, 2, . . n)
(wegen der Bezeichnungen siehe § 11) kann zwar in wenigen Zeilen
gewonnen werden, hat aber den Nachteil, daß in der Begrenzung ihres
Gültigkeitsbereichs
| x — x0 I < Min (av a2,
-—-)
nK 7
(e > 0, beliebig klein)
die Konstante K der Lipschitz-Bedingung auftritt; im allgemeinen er-
gibt sich deshalb ein kleinerer Bereich gesicherter Konvergenz der Poly-
gone gegen die Integrale (2) als bei der klassischen Darstellung. Dieser
Mißstand verschwindet bei Verwendung der günstigeren Ungleichung
(»=1,2,...,»),
die aber bisher5) nicht in der wüinschenswerten Kürze bewiesen wurde.
Diese zweite Abschätzung kann man, wie wir zeigen wollen, mittels
vollständiger Induktion im Kontinuum6) rasch bestätigen und damit
den Beweis des Herrn de la Vallee Poussin so ausgestalten, daß er
ebenfalls den fundamentalen Existenzsatz in der klassischen Form liefert,
und zwar auf einem Wege, der von keinem anderen Beweis an Kürze
und Einfachheit übertroffen werden dürfte.
§ 2. Der allgemeine Konvergenzsatz.
1. Wir betrachten die Gattung derjenigen Verfahren
zur näherungsweisen Berechnung der Integrale (2) des
Differentialgleichungssystems (3) mit den Anfangs werten
(4), die zu jeder positiven Zahl o ein System von im Inter-
vall (a?0 — «p + a2) stetigen und mit vorwärts- und rück-
5) 0. Holder, Abschätzungen in der Theorie der Differentialgleichungen.
Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzig-
jährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern,
(Berlin, J. Springer), 1914, S. 116—132. L. Bieberbach, Theorie der Differential-
gleichungen (Berlin, J. Springer) 1923, S. 36 f. Der erste Höldersche Beweis
benutzt die Cauchysche Polygonzugmethode selbst, der Bieberbachsche das Ver-
fahren der sukzessiven Approximationen; bei Herrn Bieberbach steht zwar eine
etwas weniger scharfe Abschätzung, doch kann die Ungleichung des Textes sofort
aus den dortigen Entwicklungen abgelesen werden. Im Grundgedanken stimmt
der zweite Höldersche Beweis mit unserem überein, doch dürfte die hier ge-
gebene Ausführung noch kürzer sein.
6) Wegen dieser Schlußweise vgl. 0. Perron, Die vollständige Induktion im
Kontinuum, Jahresber. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung 35, 1926, S. 194
bis 203.
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