Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale usw.

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Dann ist erst recht

(6) —(3/-h<?o)'l *^2 I in (^2) y in C^l) (-^H~ °o) I #2 X1 I
(i=l,2,.. ri).
Insbesondere ergibt sich für x2 = x, x1 = x0:

yi0 — (M + o0') | x-x0 | H<^0+(^+o0) I « — ^0 I
(i = 1,2,..., n).

Die Funktionen der Menge sind also gleichgradig stetig und
gleichmäßig beschränkt.
Zu jeder Zahl ov gibt es unendlich viele Lösungssysteme von (5j;
von diesen denken wir uns irgendeines ausgewählt und festgehalten;
wir bezeichnen es mit ylv(x'), . . ., ynv (x).
Ist o0 > or > o2 > ... > ov > ov +! > . . ., lim ov = 0, so bekommen

eine Folge von Lösungssystemen

wir
(7)
deren Funktionen yiv (F) (i = 1, 2, . . ., n) gleichgradig stetig und gleich-
mäßig beschränkt sind.
3. Es sei xv x2, . . . eine das Intervall — alt x0-]-a2) überall
dicht bedeckende abzählbare Punktfolge, die insbesondere die Punkte
x0 — aA und rr0 + a2 enthält. Dann können wir aus der Folge (7) eine

Teilfolge
(8)

{ yivji • • •> ynvj: (dO}

aussondern, die in allen Punkten dieser überall dichten Punktfolge
konvergiert.
In der Tat: Da die Zahlen yiV(x^) (i— 1, 2, ..., w) nach Nr. 2 be-
schränkt sind, läßt sich eine Indexfolge I vllc | derart finden, daß die
n Zahlenfolgen


konvergieren. Da die Zahlen yiVllc{x^) (i = 1, 2, . . n) ebenfalls be-
schränkt sind, läßt sich aus der Folge j v-^ } eine Teilfolge { v2Ä |
derart herausheben, daß die n Zahlenfolgen
< {y\v2-k\x2) }>•••> ■{ y^v^ (*^2)}
konvergieren, wobei dann
lim yiv^ («0 = lim yiv^ {x^ (i = 1, 2, . . ., n).
^2^°°
So kann man fortfahren und dabei zu einer Funktionensystemfolge
{ Vir, (*), . . ., ynv (» }

gelangen, die in den Punkten xx, x2, . ., x^ konvergiert. Dann konver-
gieren die Diagonalfolgen
yiVn yiv22 (x)> • • yivkSx\ • • • = i, 2,...,