Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale usw.

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5. Aus der Ungleichung
— -^+ Viv7 (^) fi (*^)> • • Vnv (•%)) , (^' = 1,2,..., n)
Je — k K K tu
folgt mit Verwendung des PERBONSchen Hilfssatzes8)
X
-aVk\x — xQ\^yiVk(x)—yiQ-^fi(t, ylv^t),. .ynVk(tydt^aVj\x-x0\

und hieraus wegen lim gv

— 0 und der Gleichmäßigkeit des Grenz-

überganges (11), daß

x

n);

di («)=2/io+ffi di ■ • •> yn (t))dt
die Funktionen (11) genügen also den Differentialgleichungen (3) und
den Nebenbedingungen (4). Damit ist Satz 1 bewiesen.

6. Satz 3. Hat das Differentialgleichungssystem (3) im
Intervall (xQ — av x(j-\-a2) nur ein System stetiger Integrale
(2) mit den Ausgangswerten (4), so konvergieren die Funk-
tionensysteme der Menge für o—>0 gleichmäßig gegen
das Integralsystem (2).
Beweis: Nehmen wir an, die Aussage des Satzes 3 sei falsch.
Dann ist zunächst denkbar, daß wohl die Funktionen
(12) lim yio («) = (x) (i =1,2,..., n)
o->0

existieren, daß aber der Grenzübergang nicht gleichmäßig ist; doch ist
dies nach Satz 2 unmöglich. Es bleibt nur noch die Möglichkeit, daß
die Grenzfunktionen (12) überhaupt nicht existieren.
Da die Funktionen der Menge nach Nr. 2 gleichmäßig be-
schränkt sind, sind sicher die Funktionen

yi(x)= lim inf yia (x^
o—»0
^i(^) = lim sup yio(x)
a—>0
im Intervall {x0 — av x0 + a2) vorhanden, und es gibt mindestens eine
Stelle x = x* im Intervall und mindestens einen Index « = 2 derart, daß
(13)
Wir können eine Folge positiver monoton gegen Null abnehmender
Zahlen { ov^ t, derart angeben, daß für die zugehörigen Systeme aus £y
lim y}v (x^ = yk(x.^,
V —>OO '-*k
_*k

(i = 1,2,..., n)

l) Siehe S. 6 unten.