Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale usw.

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des Intervalles (x^, «ö + «2) gebildeten Polygonzüge

(16)

yik S) = («= 1,2,..., n\
yuc (^) — ytk(®K) vfy\k (•£«), • • *» ynie (&%)) (^ ^x)
für xH < x xKJrl (x = 0, 1, 2,. . ., 2b—1; « = 1, 2, . .., n).

Wir wollen zeigen, daß sie eine Menge bilden.
Zu jeder positiven Zahl o gibt es nach Voraussetzung ein <5=<5(u)

derart, daß in 53 (av az)
(17) | fi(x, yv . . ., y^-fi (f, yv . . ■ ■> yf) \ <o (i= 1, 2,. . ., n),

sobald nur

\x-£\<d(o\ \yQ-ye\<^{o) (p= 1, 2, . . ., n).
Wählen wir die Unterteilung so fein, daß
+ l < <5(u), l\l{x}i+l — £x)< d (o) (x = 0, 1, 2,..., Ä — 1),
so wird nach (16) für x%-^x <^xK^x auch
I I ^M(^-^)^IH(^ + 1-^)<d(a) (^ = l,2,...,n)
und damit nach (17)
(18) | f i(Xy, y^k • • •} ynk ^yf)' /i (^, 2/1# (“D, • • •, 2/nk (*D) I &
(» = 1, 2, ..., n).
Nun ist nach (16)
D± yik(^) = yik^), ■ ■ ynk&xf), falls
D+ yik = fi yik • • •, ynk (^ «))>
yik M = fi -1,2/u- Ux _ i), • • •, ynk - ffi>

also nach (18)
I -D+ 2/i# («) - fi (%, yllc (x), .ynk («)) |
< I D± yik (x) - fi(xw ylk (xH), . ynk (x^ |
+! fi y±k ynk (a?x)) - fi yik • •, ynk (^)) I
< o für xH < x < x* x (i = 1, 2, .n),
\ D+ yik - fi yik ynk | = o < <?
(i = 1, 2 ..., n),
I -f^— yik f i (a^x> Vlk ■ • •> ynk |
I -f^—Vik (^fc) f i (a-x—i, yik — i), • •, ynk — 10 )
V i f if^y — 1, yik — i), y nk — ß) — fi (^x’ 2/l#(^x)^ ’ ‘ "> y nk^ff)
< o (i = 1, 2 ..., n).

Die Polygonzüge (16) erfüllen also alle an eine Menge gestellten
Anforderungen; wir können demnach' folgendes festhalten:
Satz 4. Die Cauchy-Lipschitzsehen Polygonzüge (16)
konvergieren gleichmäßig gegen das Integralsystem (2)
des Differentialgleichungssystems (3) mit den Anfangs-
werten (4), wenn das System (3) nur ein einziges solches
Integralsystem hat.