Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale usw.

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bei denen die Koeffizienten der Einschränkung unterworfen sind:
I I ü Güe + i
wobei N(s) 0 für s )> 0 und
(19) Jim = 0.
S
S->0
In der Tat ist hier, falls die Unterteilung so fein gewählt
wird, daß
(x = 0, 1, 2, ..., ä; —1),
und, was nach (19) möglich ist, daß
w i _ /r 4- v 7
wie den in Abschnitt I durchgeführten entsprechende Überlegungen
zeigen, ebenfalls die Bedingung (5) erfüllt.
Diese Kneser scheu Parabelpolygone und ebenso die von der Methode
der approximativen Polynome gelieferten Funktionen13®) haben im Gegen-
satz zu den geradlinigen Polygonzügen von Caughy die Eigenschaft, daß
man bei geeigneter Auswahl mit ihnen jedes Integralsystem des Systems
(3) mit den Anfangswerten (4) approximieren kann. Die unter II und III
genannten Methoden divergieren also beide, falls mehr als ein solches
Integralsystem existiert. Ihre Konvergenzfelder sind demnach bei stetigen
Funktionenü miteinander identisch und im Konvergenzfeld der Methode
von Cauchy-Lipschitz enthalten.
IV. Dagegen bilden die vom Verfahren der sukzessiven Appro-
ximationen gelieferten Funktionen im allgemeinen keine Menge
Denn andernfalls müßte dieses Verfahren konvergieren, sobald nur ein
Integral existiert, und dies ist nicht immer der Fall, wie wir in § 10
noch sehen werden.

§ 4. Ein Hilfssatz.

1. Satz 5. Die Funktionen und Qv(x) (v=l,2,.., n)
sollen im Intervall (x0, a:0ot2) stetig sein und die Anfangs-
= (Ao) ~ Mvo Ü ~ ü 2, .., n)
haben. Es sollen die vor- und rückwärtsgenommenen
Differentialquotienten D+co,(ir), D_cov(x), B+Qv(x), B_Qv(x)
vorhanden sein und den Ungleichungen

D+ co, (F) < Min [fv (x, yv .., t/J],
7’(A)
(20) D± Max [/■„(x,yv <" = !> 2,.n)
T*(®)

13a) Vgl. die in Fußnote 22 auf S. 27 angekündigte Arbeit.

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