Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Müller:

genügen, wobei die Bereiche Tv(x), bzw. T*(x) (v=l,2,..,n)
definiert sind durch die Ungleichungen

^(x) :
bez w.

iZ/ 00 y
yv — co j, (x),
coi (x) <yi<L&i (x) (i = 1, 2, .n; i 4 v),

100 ~ 00 y
yv = Qv (x),
<»i(x) tyi^ ^i(x) 0 = 1, 2/ • •> n;i 4 v).
Dann gilt für jedes Integralsystem (2) des Differential-
gleichungssystems (3) mit den Anfangswerten (4) im Inter-
vall (xw xQ + a2):
(21) cov (x) < (x) < (x) (y = 1,2,. ., n).

Wir wollen das durch die Ungleichungen
x0 < x <1 x0 + a2,'cov (x) <Lyv Qv (x) (y = 1, 2, .., ri)
definierte Gebiet ein „vollständiges Omegagebiet“ nennen.

Zusatz: Ein entsprechender Satz gilt auch für <^0 00 OOq ?
dabei hat man die Ungleichungen (20) durch folgende zu ersetzen:

Dy cov (x) > Max [fv (x, yv .yn)],
Tv^ 6-19 i
Dy Qv (x) < Min [fv (x, yv .., yn)J V’ ’ ’ '
T*VW

Bemerkung: In den Ungleichungen (20) darf nicht Gleichheit

zugelassen werden.14) Denn setzt man beispielsweise bei der Diffe-

rentialgleichung y' = ]/'] y |

00
_Q (x) = -p co (x) -

so ist

0 für 0 x <) a,
(x — a)2
-v- für x > ct,

Dy CO (x) =f{x, CO (X)), Dy Q (x) =f{x, Q (x)),

aber das Integral i/(x)=0 für x > a nicht im Gebiet
co (x) ^y (x)
enthalten.

Beweis für Satz 5. Es sei ^ (xj, t/2(x), ..., 7/}l(x) irgendein
System stetiger Integrale des Systems (3) mit den Anfangs werten (4).
Dann ist

Dy Vv (^o) ~fv Viw • ’ •> ynO)>
Dy cov (x0) (x0, ?/lc,.. ., yn0) Dy Dv (x0),

(r = 1, 2, . .., n)

14) Dann gelten die Ungleichungen (21) mit Einschluß der Gleichheit immer-
hin mindestens noch für ein Integralsystem. Vgl. Kapitel III der in Fußnote *)
genannten Arbeit.