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https://doi.org/10.11588/diglit.43537#0035
Über die Eindeutigkeit der Integrale usw.
35
Bei unserer Differentialgleichung konvergiert also die Methode von
Caughy-Lipsghitz sicher nicht, wenn wir die Unterteilungen in be-
liebiger Weise verfeinern. Es gilt also
Satz 19. Wird von den Funktionen nur Stetigkeit
vorausgesetzt, so konvergieren bei beliebiger Verfeinerung
der Unterteilung (&k die CAUGHYSchen Polygonzüge im allge-
meinen nicht gegen feste Grenzfunktionen.
2. Bei dem in Nr. 1 angegebenen Beispiel wächst f(x,y') monoton
mit y, in einer früheren Arbeit b habe ich gezeigt, daß dann das Ver-
fahren der sukzessiven Approximationen konvergiert.26) Also haben
wir hier eine Differentialgleichung, bei der die Caugiiy sehen Polygon-
züge divergieren, die Picard sehen Näherungsfunktionen aber konver-
gieren.
Andererseits habe ich a. a. O. die Differentialgleichung
(59)
0 für a? = 0, —oo<?/<oo,
2 x für 0 < x < 1, — oo < ?/ < 0,
2 a?—4^ für 0 <a?^ 1, 0 <(a?2,
— 2 a? für 0 < x <, 1, a?2 < y < oo,
b Siehe Seite 3 Fußnote 1.
2e) Dabei ist (vgl. Satz 2 meiner früheren Arbeit) das Verfahren der suk-
zessiven Approximationen folgendermaßen anzusetzen:
yi (#) = y0-M(x- x0),
X
y^ + x («) = 2/o + J y} <i>) dt (2 = 1, 2, 3, . ..),
Xo
wobei wegen (57)
M — Max | f (x,y) | = 2
ist. Will man das Picardsche Verfahren in der meist üblichen Form
2/i (a?) = 2/o, (a?) = i/o + //(t, y W) dt (2 = 1, 2, 3, . . .)
Z + 1 J Z
Xq
verwenden, so braucht man es nach einem älteren, ebenfalls a. a. 0. erwähnten
Satz von Herrn Bendixson nur einzurichten, daß die rechte Seite der Differential-
gleichung nicht negativ wird. Dies erreicht man, indem man auf die von uns
konstruierte Funktion f(x, y) die Transformation y — z— 2a? ausübt, d, h. von
der Differentialgleichung y = f(x,y) zu der Differentialgleichung
z' — F (x, z) = f (x, z — 2x~) + 2
übergeht, bei der nach (57) die rechte Seite
F (x, z) = f(x,z — 2a?) -+ 2 — 2 + 2 = 0
ist.
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Bei unserer Differentialgleichung konvergiert also die Methode von
Caughy-Lipsghitz sicher nicht, wenn wir die Unterteilungen in be-
liebiger Weise verfeinern. Es gilt also
Satz 19. Wird von den Funktionen nur Stetigkeit
vorausgesetzt, so konvergieren bei beliebiger Verfeinerung
der Unterteilung (&k die CAUGHYSchen Polygonzüge im allge-
meinen nicht gegen feste Grenzfunktionen.
2. Bei dem in Nr. 1 angegebenen Beispiel wächst f(x,y') monoton
mit y, in einer früheren Arbeit b habe ich gezeigt, daß dann das Ver-
fahren der sukzessiven Approximationen konvergiert.26) Also haben
wir hier eine Differentialgleichung, bei der die Caugiiy sehen Polygon-
züge divergieren, die Picard sehen Näherungsfunktionen aber konver-
gieren.
Andererseits habe ich a. a. O. die Differentialgleichung
(59)
0 für a? = 0, —oo<?/<oo,
2 x für 0 < x < 1, — oo < ?/ < 0,
2 a?—4^ für 0 <a?^ 1, 0 <(a?2,
— 2 a? für 0 < x <, 1, a?2 < y < oo,
b Siehe Seite 3 Fußnote 1.
2e) Dabei ist (vgl. Satz 2 meiner früheren Arbeit) das Verfahren der suk-
zessiven Approximationen folgendermaßen anzusetzen:
yi (#) = y0-M(x- x0),
X
y^ + x («) = 2/o + J y} <i>) dt (2 = 1, 2, 3, . ..),
Xo
wobei wegen (57)
M — Max | f (x,y) | = 2
ist. Will man das Picardsche Verfahren in der meist üblichen Form
2/i (a?) = 2/o, (a?) = i/o + //(t, y W) dt (2 = 1, 2, 3, . . .)
Z + 1 J Z
Xq
verwenden, so braucht man es nach einem älteren, ebenfalls a. a. 0. erwähnten
Satz von Herrn Bendixson nur einzurichten, daß die rechte Seite der Differential-
gleichung nicht negativ wird. Dies erreicht man, indem man auf die von uns
konstruierte Funktion f(x, y) die Transformation y — z— 2a? ausübt, d, h. von
der Differentialgleichung y = f(x,y) zu der Differentialgleichung
z' — F (x, z) = f (x, z — 2x~) + 2
übergeht, bei der nach (57) die rechte Seite
F (x, z) = f(x,z — 2a?) -+ 2 — 2 + 2 = 0
ist.