Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Müller:

angegeben, bei welcher die Picard sehen Näherungsfunktionen mit den
Anfangswerten = 0 divergieren. Hier ist f(x,y) ebenfalls im Defi-
nition sbereich gleichmäßig stetig und gleichmäßig beschränkt, nämlich
1 f (x,y) | < 2, aber f (x,y) nimmt mit wachsendem y monoton ab. Nach
Satz 15 hat also die Differentialgleichung (59) nur ein einziges Integral
mit dem Anfangswert y (0) = 0. Nach Satz 4 konvergieren demnach
bei dieser Differentialgleichung die Cauchysehen Polygonzüge, wäh-
rend die Picard sehen Näherungsfunktionen divergieren.
Satz 20. Im Bereich der stetigen Funktionen sind
die Konvergenzfelder der Methode von Cauchy-Lipschitz
und der Methode der sukzessiven Approximationen von-
einander verschieden und keines ist ein Teil des anderen.

§ 11. Neuer Konvergenzbeweis für die Methode von Cauchy-Lipschitz
bei erfüllter Lipschitz-Bedingung.

1. Den Ausführungen von § 3 I entnehmen wir: Sobald nur die
Unterteilungen und (5jfc' so fein gewählt sind, daß für die Teilinter-
valle die Beziehungen


bestehen, genügen die zugeordneten Cauchy sehen Polygonzüge Deri-
viertengleichungen
IK = fi(x,ylk ^,-^ynk^-YOile(x) (i = 1,2,. .,n),
yik' (%) = fi (x, y\k' .., ynk' «) + 0) (/ = 1,2,.., n),
bei denen die Differenz der rechten Seiten die Ungleichungen
I fi {x, yv.., yn) + ®ik (^) - fi (x, yvyj - k' (x) |
= \®ik («) - ®ikf (x) | | ®ik (x) | + ) 0ik' (x) | < | | = o
(i= 1, 2,.., w)
erfüllt. In Nr. 2 werden wir zeigen, daß dann auch
(60) \yik(x)-yikr (x)\^^[enK'x~X°^ -1]
sofern die Funktionen fi einer Lipschitz-Bedingung
n
I fi (x, yv ..,yn) — fi{x, • -Un)! 2 I ~ J (i = 1,2,.w)
e = l
genügen.