Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale usw. 37
Da o beliebig klein sein konnte, besagt (60) nach dem allgemeinen
Cauchy sehen Konvergenzprinzip, daß im Intervall (x0, Xoa2) die Grenz-
funktionen
lim yik(x) = Vi(x) (-i= 1, 2,w)
existieren, und daß der Grenzübergang zu denselben daselbst gleich-
mäßig ist. Daß diese Grenzfunktionen das Differentialgleichungssystem
(3) und die Nebenbedingungen (4) erfüllen, ist leicht einzusehen.
2. Die Richtigkeit der Abschätzung (60) folgt aus folgendem, noch
etwas allgemeinerem
Satz 21. Die Funktionen Yn(x) Zx(x),.Zn(x)
seien im Intervall (a?0, x0 + ei') stetig und mögen den Deri-
viertengleichungen
D+ Yi (x) = Fi (x, Fj (x),.., Yn (x)) (i = 1, 2,.., n),
b z w.
D+ Zi (x) = G-i (x, Zx (x),.., Zn {x)) (y = 1,2,.., n)
und den gemeinsamen Anfangsbedingungen
(61) Yi (a?0) = Z. (x0) = (i = 1, 2,.., n)
genügen. Im Intervall (a?0, a;0 + a) sei
| Fi (x, Zx (X),Zn (x)') — Gi (x, Zx (x), ..,Zn (.r)) | d
(i = 1, 2,.., n),
| Fi (x, Yx (x),Yn {x)) — Fi (x, Zx (x),Zn (U))
n
^K^\Yg{x) — Ze(x)\ (i= 1,2,.., n).27l
e=l
Dann gilt die Abschätzung
(62) | Yi(x)-Zi(x)\^^ ^nK\x~x0\_^ (?:=l,2,..,w).
Beweis: Es genügt, zu zeigen, daß für jedes s > 0, i=l,2,..,n
(63) | Yi (.«) - Zi (x) \^-^[en{K+Enx^x°}-l]^L(x').
Für x = x0 ist dies nach (61) gewiß richtig. Wären die n Ungleichungen
(63) nicht im ganzen Intervall (x^, xQFa} erfüllt, so gäbe es aus Stetig-
keitsgründen eine Zahl mit folgenden Eigenschaften:

27) Von den Funktionen Jk und wird also nichts weiter verlangt, als
daß sie für die beigeschriebenen Argumente definiert sind und den angegebenen
Gleichungen bzw. Ungleichungen genügen.

4