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https://doi.org/10.11588/diglit.43553#0007
Über Raumkurven in der Möbius’schen Geometrie.
7
Wenn man daher a und b etwa als analytische Funktionen von o vor-
o-ibt, ist bis auf Möbiustransformationen die Kurve mitsamt dem be-
gleitenden 5-Bein gegeben.
Anmerkung: Es läßt sich auch ein 5-Bein von niedrigerer Ordnung (das
obige hat die Ordnung 5, das andere 4) angeben, das aus den Vektoren £, y', n, p
(p der zweite Schnitt von , §, rt) besteht, welches aber keine so anschauliche
geometrische Bedeutung wie das obige hat.
§ 4. Deutung der Invarianten a und b.
1. Die Invariante a hängt zusammen mit dem Winkel 99(0)
zwischen der Kurve j(o) und dem Krümmungskreis von j(o). Um
diesen Winkel zu berechnen, genügt es, den Winkel zwischen j' und t
zu berechnen, weil j' im Punkt f auf dem Linienelement von j(o),
t im Punkt X auf dem Linienelement des Krümmungskreises senkrecht
steht. Man findet so:
a2 = ctg2 cp.
2. b, die „Inversionskrümmung1)“ der Kurve £(r) (denn es ist
1 dtlz-— dt l/x2+y2 + z2—R2 -p , d
b “ lä 3 dZ Kä 3 “d0 ■ V -; 'venn Pllnkt = <Tt= Ab_
leitung nach Bogenlänge) läßt auch eine einfache geometrische Deutung
zu: Es ist nämlich . 4
COS2V = (_—
wobei ip der Öffn ungs winkel derjenigen Dupiiüschen Zyklide ist, deren
Kugeln sämtlich drei benachbarte Normalkugeln berühren.
Um diesen Winkel zu berechnen, verfährt man so: man wählt
eine Kugel, die auf allen Kugeln der erwähnten Schar der Zyklide
senkrecht steht (Gleichung der Zyklide:
ä = (y2 + e2) E + 2 b2 y2 £ + 2 b y2 § — n + 2 b y21,
das Verhältnis y:e ist der Parameter) z. B. rt. Eine Dupin’sche
Zyklide kann man auf zwei Arten als Einhüllende einer einparametrigen
Kugelschar auffassen. Jede Kugel der einen Schar berührt jede Kugel
der andern Schar, ff steht nun auch auf zwei Kugeln der zweiten
Schar senkrecht. Der Winkel zwischen diesen beiden Kugeln ist tp.
§ 5. Die Extremalen des invarianten Parameters.
Um die Extremalen zu bestimmen, hat man das Variationsproblem
ä f 17ll s £ o
J V (i ö4
dt = 0
mit der Nebenbedingung ($£)= 0 zu lösen.
1) Vgl. die Seite 4, Anmerkung 1 erwähnte Arbeit.
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Wenn man daher a und b etwa als analytische Funktionen von o vor-
o-ibt, ist bis auf Möbiustransformationen die Kurve mitsamt dem be-
gleitenden 5-Bein gegeben.
Anmerkung: Es läßt sich auch ein 5-Bein von niedrigerer Ordnung (das
obige hat die Ordnung 5, das andere 4) angeben, das aus den Vektoren £, y', n, p
(p der zweite Schnitt von , §, rt) besteht, welches aber keine so anschauliche
geometrische Bedeutung wie das obige hat.
§ 4. Deutung der Invarianten a und b.
1. Die Invariante a hängt zusammen mit dem Winkel 99(0)
zwischen der Kurve j(o) und dem Krümmungskreis von j(o). Um
diesen Winkel zu berechnen, genügt es, den Winkel zwischen j' und t
zu berechnen, weil j' im Punkt f auf dem Linienelement von j(o),
t im Punkt X auf dem Linienelement des Krümmungskreises senkrecht
steht. Man findet so:
a2 = ctg2 cp.
2. b, die „Inversionskrümmung1)“ der Kurve £(r) (denn es ist
1 dtlz-— dt l/x2+y2 + z2—R2 -p , d
b “ lä 3 dZ Kä 3 “d0 ■ V -; 'venn Pllnkt = <Tt= Ab_
leitung nach Bogenlänge) läßt auch eine einfache geometrische Deutung
zu: Es ist nämlich . 4
COS2V = (_—
wobei ip der Öffn ungs winkel derjenigen Dupiiüschen Zyklide ist, deren
Kugeln sämtlich drei benachbarte Normalkugeln berühren.
Um diesen Winkel zu berechnen, verfährt man so: man wählt
eine Kugel, die auf allen Kugeln der erwähnten Schar der Zyklide
senkrecht steht (Gleichung der Zyklide:
ä = (y2 + e2) E + 2 b2 y2 £ + 2 b y2 § — n + 2 b y21,
das Verhältnis y:e ist der Parameter) z. B. rt. Eine Dupin’sche
Zyklide kann man auf zwei Arten als Einhüllende einer einparametrigen
Kugelschar auffassen. Jede Kugel der einen Schar berührt jede Kugel
der andern Schar, ff steht nun auch auf zwei Kugeln der zweiten
Schar senkrecht. Der Winkel zwischen diesen beiden Kugeln ist tp.
§ 5. Die Extremalen des invarianten Parameters.
Um die Extremalen zu bestimmen, hat man das Variationsproblem
ä f 17ll s £ o
J V (i ö4
dt = 0
mit der Nebenbedingung ($£)= 0 zu lösen.
1) Vgl. die Seite 4, Anmerkung 1 erwähnte Arbeit.